线性代数—实对称矩阵的对角化.pptVIP

第三节 END * * 并非所有方阵都可对角化,但是实对称矩阵必可对角化. 为了讨论实对称矩阵的有关性质，需要研究向量内积和正交的概念和性质。 定义 两个n维向量 向量的内积具有如下基本特性： 证略. 一、向量的内积, 正交和长度 向量长度的性质: 由定义可知 定义 例1 证 二、正交向量组和正交矩阵 定义 显然零向量与任何向量都正交。 ? ? n维基本单位向量组 是两两正交的。 显然有 例2 解 即得所求向量为 定义 若非零向量 两两正交， 则称之为正交向量组。 定理 正交向量组必线性无关。 证 设 是正交向量组， 施密特正交化方法 证略。 例3 解 用施密特正交化方法，将下列向量组正交化： 例4 解 将向量组 标准正交化. 再单位化, 例5 解 它的基础解系为 再正交化， 正交矩阵的性质： 证 定义 若n阶矩阵Q 满足 则称 Q为 正交矩阵。 　　 Q为正交矩阵的充分必要条件是Q的列向量组是单位正交向量组． 证明 定理 是单位正交向量组． 同理, 由 可知Q的行向量组是单位正交 向量组. Q为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立： (3) Q的行向量是两两正交的单位向量. (4) Q的列向量是两两正交的单位向量. 例6 判别下列矩阵是否为正交矩阵． 解 (1) 不是正交矩阵． (2) 所以它是正交矩阵． 练习 验证矩阵 是正交矩阵. P 每个列向量都是单位向量，且两两正交，所以P是正交矩阵。 实对称矩阵的特征值都是实数. 三、实对称矩阵的相似对角化 定理 并非所有方阵都可对角化,但是实对称矩阵必可对角化. 证 证略. 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交. 定理 只证两个特征向量的情况. 定理 证略. 具体计算步骤如下： (1) 求出实对称矩阵A的全部特征值； (2) 若特征值是单根，则求出一个线性无关的特征向量，并加以单位化； 若特征值是重根，则求出重数个线性无关的特征向量，然后用施密特正交化方法化为正交组，再单位化； (3) 将这些两两正交的单位特征向量按列拼起来，就得到了正交矩阵P。 例7 解 设 求正交阵P， 再单位化, 于是所求正交阵为 使 例8 解 设 求正交阵P， 特征向量 特征向量 再单位化,拼起来得 使 解 例9 设三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3；属于特征值1,2的特征向量分别为 (1) 求属于特征值3的特征向量；(2) 求矩阵A. 矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交,于是有 由于实对称 即解齐次线性方程组,其系数矩阵为 属于特征值3的特征向量为 (2) 所以 解 例10 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ， 使 为对角阵. (1)第一步 求 的特征值