线性系统理论精简版 ——系统的可控可观性.pptVIP

3. 实现的性质 （1）传递函数阵的实现的维数不唯一。 根据系统结构分解理论，传递函数阵只描述系统中能控且能观测的部分。在传递函数阵G (s)的一个实现中添加或删除不能控或不能观测的状态变量，所得到的状态空间表达式仍是传递函数阵G (s)的实现。 （2）传递函数阵的维数相同的实现不唯一。 根据传递函数阵具有不变性，对传递函数阵G(s) 的一个实现进行非奇异线性变换，所得到的状态空间 表达式仍是传递函数阵 G (s)的实现。 例如4-11,下列状态空间表达式都是传递函数 的实现。 （1） （2） （3） 1. 定义： 传递函数阵的实现的维数不唯一，其中维数最 低的实现称为最小实现。 2. 性质： 传递函数阵的最小实现不唯一，但维数唯一， 不同的最小实现代数等价（线性变化）。 3. 判定方法： 传递函数阵G (s)的一个实现∑(A,B,C)是最小实 现的充要条件是，∑(A,B,C)是既能控也能观测的。 4.4.2 最小实现 求最小实现的方法： 先求出传递函数阵G (s )的一个实现∑(A,B,C)，通常是先写出能控标准型实现或能观测标准型实现，然后判断是否最小实现。若不是，则进行下一步。 (2) 对实现∑(A,B,C)进行结构分解，所得到的能控且能观测的子系统就是G (s )的一个最小实现。 4.4.3 求最小实现 设单输入-单输出线性定常系统的传递函数为： 则其能控标准型实现为： 能观测标准型实现为： 提示：对偶。 设多输入-多输出线性定常系统的传递函数阵 为m×r维矩阵，即 式中，分母多项式是传递函数阵的特征多项式； 分子多项式的系数矩阵为Bi（i=1,2,…,n-1）。 则其能控标准型实现为 能观测标准型实现为 提示：r=m时对偶。 例4-12 求下列给定传递函数的能控标准形实现、能观测标准型实现和约当标准型实现。 （1）能控标准型实现为 （2）能观测标准型实现为 （3）将给定传递函数按部分分式展开，可得 对角标准型实现为 可以判断上述三个实现都是给定传递函数G (s)的最小实现。 例4-13 求下列给定传递函数阵的实现。 解：将G (s)写成分式的形式，即 可得 可得能控标准型实现的各系数矩阵为 作业 4.1 （1） 、（2）、 （3） 4.2 （1） 4.3 4.6 4.12 4.21 4.22 谢书：3-1 3-3 3-5 3-15 3-17 3-19 归零 * * B1u输出是单控制信号。 * 板书一下矩阵吧，或者看后面例子。 * * 不能观的状态也不能出现在n1维子系统中 * G横是线性变换以后的G，不变。 * 能控标准型未必能观 * Bi的维数（m*r) * 2*2的 2输入 2输出 * 4. 2 可控性和可观性的对偶关系 系统能控性是研究输入u（t)与状态x(t)之间的关系，而能观测性是研究输出y（t)与状态x(t)之间的关系。通过上面的讨论可以看到，能控性与能观测性，无论在概念上还是判据的形式上，都很相似。它给人们一个启示，即能控性与能观测性之间存在某种内在的联系。这个联系就是卡尔曼提出的对偶性。 考虑由下述状态空间表达式描述的系统 S1： 现在．我们来构造一个系统s2 w w s2称为s1的对偶系统；互为对偶。 提示：r 个输入 m 个输出 提示：m 个输入 r 个输出 对偶系统有两个基本特征： * 对偶的两个系统传递函数阵互为转置 * 对偶的两个系统特征值相同 * 系统s1的能控性等价于系统s2的能观测性；而系统s1的能观测性与系统s2的能控性等价。这就是对偶原理。 * 单输入/单输出的能控标准型等价于其对偶系统的能观 标准型 提示：利用对偶原理，一个给定系统的可观测性可用其对偶系统的状态可控性来检检和判断。 在动态方程建模、系统可控性和可观测性的判别、系统线性变换等问题上，应用对偶原理，往往可以使问题得到简化。 4. 3 系统结构规范分解 状态空间按照可控可观性可以分解为四个子空间。这个分解过程称为系统的规范分解。通过规范分解能明晰系统的内部结构特性和传递特性，简化系统的分析与设计。 4.3.1 按能控性分解 设n维线性定常系统∑(A,B,C)是状态不完全能控 的，能控性矩阵U的秩为n1，即rankU=n1＜n，则必存 在非奇