线性方程组的高斯消去法.pptVIP

　　定理4.5 设A为为n阶非奇异矩阵，方程组Ax=I的增广矩阵为 C=（A，I）。如果对C用Gauss-Jordan消去法化为（I，T），则　　 　. 证 设 　　,则 　　　这里， 为单位矩阵I的第j列，用Gauss-Jordan消去法解方程组 　,其解在C中I的第j列，即为T的第j列，即 　.因此 　　 .定理得证. 例4.4 用Gauss-Jordan消去法求矩阵 的逆矩阵。 解 用列主元素消去法有 在实际计算中，为了节省内存单元，单位矩阵不必存放。在上例中，可将 的最后一列放在A第I列，将 的第5列存放在A的第2列，将 的第4列存在A的第3列。一般地，第k步消元时，可将A的第k列 用向量 取代。最后再调整一下列就可以在A的位置得到 。实际上，在 A的位置最后得到的矩阵 　是的逆矩阵 ，其中P为行变换 形成的排列阵，于是 第四章方程组的直接解法 4.1 Gauss消去法 4.1.4 Gauss-Jordan消元法 4.1.3 主元素消去法 4.1.2 矩阵的三角分解 4.1.1 Gauss消去法的计算过程 第4章 线性方程组的直接解法 教学目的 1. 掌握解线性方程组的高斯消去法、高斯选主元素消去法； 2. 掌握用直接三角分解法解线性方程组的方法； 3. 了解解对称正定矩阵线性方程组的平方根法与解三对角线方程组的追赶法； 4. 掌握向量，矩阵范数，矩阵的条件数等概念及方程组的扰动分析。 教学重点及难点 重点是 1. 解线性方程组的高斯消去法、高斯选主元素消去法； 2. 直接三角分解法解线性方程组的方法； 3. 向量，矩阵范数，矩阵的条件数等概念及方程组的扰动分析； 难点是方程组的扰动分析。 实际中，存在大量的解线性方程组的问题。很多数值方法到最后也会涉及到线性方程组的求解问题：如样条插值的M和m关系式，曲线拟合的法方程，方程组的Newton迭代等问题。 第4章 线性方程组的直接解法 对线性方程组： 或者： 我们有Gram法则：当且仅当 时，有唯一的解，而且解为： 但Gram法则不能用于计算方程组的解，如n＝100，1033次/秒的计算机要算10120年 解线性方程组的方法可以分为2类： ①直接法：准确，可靠，理论上得到的解是精确的 ②迭代法：速度快，但有误差 本章讲解直接法 　　对于中小型方程组，常用直接解法。从本质上来说，直接方法的原理是找一个可逆矩阵M，使得MA是一个上三角阵，这一过程一般称为“消元”过程，消元之后再进行“回代”，即求解MAx=Mb。本章讨论Gauss消去法及其变形，以及一些情况下的特殊方法，最后进行误差分析。 4.1 Gauss消去法 我们知道，下面有3种方程的解我们可以直接求出： ① n次运算 ② （n＋1）n/2次运算 ③ （n＋1）n/2次运算 对方程组，作如下的变换，解不变 ①交换两个方程的次序 ②一个方程的两边同时乘以一个非0的数 ③一个方程的两边同时乘以一个非0数，加到另一个方程 因此，对应的对增广矩阵(A，b)，作如下的变换，解不变 ①交换矩阵的两行 ②某一行乘以一个非0的数 ③某一个乘以一个非0数，加到另一行 消元法就是对增广矩阵作上述行的变换，变为我们已知的3种类型之一，而后求根. 思路 首先将A化为上三角阵，再回代求解 。 = 4.1.1 Gauss消去法的计算过程 我们把方程组Ax=b写成 设方程组(4,.1.1)的系数矩阵A非奇异,记 (4.1.1) , 这样,方程组(4.1.1)又可写成 。消元过程就是要按确定的计算过程对方程组进行初等行变换,将方程组化为上三角方程组. 第一步消元:假设 　　,作初等行变换运算 步骤如下： 运算量： (n-1)*(1+n) 运算量： (n-2)*(1+n-1)=(n-2)n 第二步： 　　第k步消元:设消去法已进行k-1步,得到方程组 ,此时对应的增广矩阵是 第k步： 类似的做下