概率统计教材 第十二讲.pptVIP

概率与统计第十二讲 随机变量函数的分布习题课 开课系：理学院 统计与金融数学系 e-mail:probstat@ 主页 二、多个随机变量函数的密度函数 习题课 * * 1、一般的方法：分布函数法 若(X1, X2, …, Xn)~f (x1, x2, …, xn), (x1, x2, …, xn)?Rn, Y=g(X1, X2, …, Xn), 则可先求Y的分布函数: 然后再求出Y的密度函数: 2、几个常用函数的密度函数 (1)和的分布 已知(X, Y)～f(x, y), (x, y)?R2, 求Z＝X＋Y的密度。 z x+y=z x+y? z 若X与Y相互独立，则Z＝X＋Y的密度函数 例1. 设随机变量X与Y独立且均服从标准正态分布，求证：Z=X+Y服从N（0，2）分布。 一般地，设随机变量X1, X2，..., Xn独立且Xi服从正态分布N(?i ,?i2),i=1,...,n, 则 例2.卡车装运水泥,设每袋水泥的重量X(kg)服从N(50,2.52)分布,该卡车的额定载重量为2000kg,问最多装多少袋水泥,可使卡车超载的概率不超过0.05. 解:设最多装n袋水泥,Xi为第i袋水泥的重量.则 由题意,令 查表得 2、极大(小)值的分布 设X1, X2, …, Xn相互独立，其分布函数分别为F1(x1),F2(x2), …, Fn(xn)，记 M＝max{X1, X2, …, Xn }, N＝min{X1, X2, …, Xn } 则，M和N的分布函数分别为： FM(z)＝F1(z) … Fn(z) 特别，当X1, X2, …, Xn独立同分布(分布函数相同)时，则有 FM(z)＝[F(z)]n; FN(z)＝1－[1－F(z)]n. 进一步地，若X1, X2, …, Xn独立且具相同的密度函数f (x)，则M和N的密度函数分别由以下二式表出 fM(z)＝n[F(z)]n－1f (z)； fN(z)＝n[1－F(z)]n－1f (z). 例3. 设系统L由两个相互独立的子系统联接而成，联接的方式分别为(i)串联，(ii)并联，如图所示设L1,L2的寿命分别为X与Y，已知它们的概率密度分别为 其中?0，?0,试分别就以上两种联结方式写出L的寿命Z的概率密度． 小结 1. (X,Y)的分布函数为 求： (1) 参数a,b (2) (3)概率密度. 2.同时掷两颗骰子，以X表示其中小的点数，以Y表示其中大的点数.求二维随机变量(X,Y)的分布律. 3. 随机变量X与Y的联合概率密度为 求 4．随机变量X与Y独立且均服从正态分布， 求 5.判断X与Y的独立性。 6. 有一矩形目标，长边长为20，短边长为10. 火炮向该矩形目标射击，射向垂直于长边.瞄准点是长边中心.以目标中心为原点，射向为x轴方向，建立坐标系，弹着点坐标为(X,Y), 且设X与Y独立，又设, , ,求命中目标的概率. 7.设保险公司为10件产品进行寿命保险,每件交纳10元保费，若产品在5年内因质量问题而报废，则可获赔100元，假设该种产品的寿命服从正态分布N(6,0.52),求保险公司赔本的概率.（不考虑利息等其它因素） 8. 设随机变量X，Y，Z独立且均服从参数为p的两点分布，求随机变量XY-Z的分布律. * *