基本不等式(课堂实录点评).docVIP

基本不等式 在前两节课的研究当中，学生已掌握了一些简单的不等式及其应用，并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的不等量关系，掌握了不等式的一些简单性质与证明，研究了一元二次不等式及其解法，学习了二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题.本节课的研究是前三大节学习的延续和拓展.另外，为基本不等式的应用垫定了坚实的基础，所以说，本节课是起到了承上启下的作用.本节课是通过让学生观察第２４届国际数学家大会的会标图案中隐含的相等关系与不等关系而引入的.通过分析得出基本不等式：，然后从三种角度对基本不等式展开证明及对基本不等式展开一些简单的应用,进而更深一层次地从理性角度建立不等观念.教师应作好点拨，利用几何背景，数形结合做好归纳总结、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析探索过程，进而更深层次理解基本不等式，鼓励学生对数学知识和方法获得过程的探索，同时也能激发学生的学习兴趣， 根据本节课的教学内容，应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究，得出基本不等式，进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.教学过程 导入新课 探究：在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？ 设计依据：用第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习，并增强学生的爱国主义热情师 同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？ （沉静片刻） 生 应该先从此图案中抽象出几何图形师 同学们观察得很细致，抽象出几何图形比较准确［过程引导］ 师 设直角三角形的两直角边的长分别为a、b，那么，四个直角三角形的面积之和与正方形的面积有什么关系呢？ 生 显然正方形的面积大于四个直角三角形的面积之和师 一定吗？（大家齐声：不一定，有可能相等） 师 同学们能否用数学符号去进行严格的推理证明？ （片刻）生 每个直角三角形的面积为，四个直角三角形的面积之和为2ab正方形的边长为，所以正方形的面积为a2+b2，则a2+b22ab． 师 这位同学回答得很好，表达很全面、准确a=b时，等号成立 师 回答的非常好，也就是说我们得到的应该是a2+b2≥2ab．下面请大家思考一下，对a2+b2≥2ab证明了吗？ 生 没有，他仍是由我们刚才的直观得，只是用字母表达一下而已师 回答得很好（有的同学感到迷惑不解） 师 这样的叙述不能代替证明.这是同学们在解题时经常会犯的错误.实质上，对文字性语言叙述证明题来说，他只是写出了已知、求证，并未给出证明（有的同学窃窃私语，确实是这样，并没有给出证明）师 请同学们继续思考，该如何证明此不等式，即a2+b2≥2ab生 采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，∵(a-b)2是一个完全平方数，它是非负数，即(a-b)2≥0，所以可得a2+b2≥2ab师 同学们思考一下，这位同学的证明是否正确？生 正确. ［教师精讲］ 师 这位同学的证明思路很好.今后，我们把这种证明不等式的思想方法形象地称之为“比较法”，它和根据实数的基本性质比较两个代数式的大小是否一样生 实质一样，只是设问的形式不同而已.一个是比较大小，一个是让我们去证明师 对.那么我们在遇到这类问题时，采用作差此处，意在学生把的思维空间切实留给学生［教师］a、b，我们有 a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立． ［］子中，a、ba、b只是一个符号，这样突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础. 师 下面请同学们完成上面的不等式． 生 回答略． 师 （板书：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　）大家来看，上面不等式两边同时除以2，我们可以得到什么式子？ 生 师 说的好，这就是我们今天这节课学的最重要的不等式——基本不等式． ［教师精讲］ 叫a、b叫a、b师 怎样理解“当且仅当”？（学生小组讨论，交流看法，师生总结） 生 “当且仅当a=b时，等号成立”的含义是：当a=b时，取等号，即 仅当a=b时，取等号，即 ［］C是AB上一点，AC=a,CB=b，请比较CD与OD的大小关系. 师 要比较CD与OD的大小关系就需要先求CD与OD． 那么CD与OD怎么求呢？ （学生思考） 生 师　我们是不是可以借助三角形相似求CD［］ 生　还有其他的变形吗？ 师　还有其他的变形，但是，这几个是以后我们用的最多的． 3、巩固新知（小组合作，学习研讨）（小试牛刀：应用基本不等式完成下列各题） 追问： 设计意图：以上题目均是根据基本不等式的使用条件中的难点和关键处设置的，目的是利用学生原有的知识，进一步领悟到不等式成立的条件，及当且仅当时，等号成立。这些