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圆锥曲线中最值问题的求解策略 王光春 （ 陕西岚皋中学 725400） 内容提要：解决圆锥曲线中的最值问题常用四种方法：定义法；几何法；不等式法； 参数法。 关键词：高中数学 圆锥曲线 最值 求法 圆锥曲线中的最值问题是一类综合性强、变量多、涉及知识面广的题目，是解析几何中的难点问题，也是高考中的热点问题。它的求解常常要用到函数、不等式、三角以及平面几何的知识。 圆锥曲线最值问题常见的有两类：一类是有关长度、面积的最值问题：另一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题。这些问题往往通过回归定义，借助几何知识，建立目标函数，利用函数性质和不等式知识，以数形结合、转化的数学思想寻求解题思路。 下面就圆锥曲线中几种基本最值问题，剖析其解题策略。 一．回归定义 理解定义、灵活运用定义是解题关键，这在求圆锥曲线最值问题中表现最为突出。灵合 运用能收到事半功倍的效果。 例1已知直线：和直线：，求抛物线上一动点到直线和.直线距离之和的最小值。 解析：直线：是抛物线的准线，是其焦点，如图（1）所示，由抛物线的定义知P到直线的距离|PE|=|PF|,因此本题可转化为在抛物线上找点P使P点到点和到距离|PD|的和最小，最小值是到直线：的距离。即 例2.已知点是双曲线的左焦点，定点的坐标为，是双曲线右支上的动点，求的最小值。 解析：如图(2)所示，由双曲线的定义得，即，又，将 代入得，即 等号成立当且仅当 、、 三点共线，即P为图中的点时成立，故的最小值为9. 图（1） 图（2） 例3. ， 解析：椭圆中，长半轴，短半轴，半焦距，离心率，右焦点,左准线。 （1）设P点到左准线为|PD|,如图（3）所示。由椭圆的第二定义可知,所以，的最小值就是点A到左准线的距离,当且仅当点P在处取得最小值。故。 （2）由椭圆的第一定义得：，所以，又,因此，，故 ，即。故的最大值是，最小值是 ，当动点位于或位置时取得最值，如图（4）所示。 图（3） 图（4） 二． 化归几何 在求圆锥曲线最值问题中，如果用代数方法求解比较复杂，可考虑用几何知识求解， 化归为对称点、三角形三边关系、平行间距离等问题的求解。 例4.已知椭圆 和直线，在上取一点M ，经过点M且以椭圆的焦点为焦点作椭圆 ，求M在何处时所作椭圆的长轴最短，并求此椭圆方程 解析：设 是关于对称点 ， 可求出 坐标 ，过的直线方程与联立得交点M为所求。如图（5）所示。 由椭圆方程 ，得， 设 是关于对称点 ， 可 求出 坐标为(-9,6) ， 过的直线方程:x+2y-3=0与x-y+9=0联立，得交点M(-5,4)， 即过M的椭圆长轴最短，由 ,得。,, 所求椭圆方程为 图（5） 三．巧用不等式 列出最值关系式，利用均值不等式“等号成立”的条件求解。 例5 .过椭圆的焦点的直线交椭圆A,B两点 ，求面积的最大值 。 解析：由过椭圆焦点，写出直线AB方程为y=kx+1，与椭圆方程联立，消去y，得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，将表示成k的函数，巧妙运用均值不等式可求其解。 椭圆焦点 ，设直线过焦点F(0,1) ，直线方程与联立 ， 消去，得 ，其中两根为A,B两点的横坐标 。将三角形AOB 看作与组合而成 ，|OF| 是公共边 ，它们在公共边上的高长为 ., 其中 |OF|=c=1. == =. 当 即k=0 时,取等号 ， 即当直线为 y=1时 , 得到的面积最大值为 。 四．妙用参数 利用圆、椭圆、双曲线参数方程转化为三角函数问题，可用三角函数的有界性解决所求最值问题。或利用直线、抛物线参数方程转化为函数问题，用函数的有关性质求其最值。 例6．椭圆的切线与两坐标轴分别交于A,B两点 ， 求三角形OAB 的最小面积 解析；写出椭圆参数方程，设切点坐标为，可得切线方程 ，令y=0，得切线与x轴交点：令，得切线与y轴交点 ，即 1《数学通讯》 2《数学导与练》 O F’/ F Y P P/ A y l P O x M