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达闻中小学生课外辅导中心学员辅导资料 课程名称 八年级数学 上课时间 2016 年 3 月 12 日 课 时 第 1 课时 辅 导 师 学 生 辅导方式 小班辅导 教学内容 三角形的证明 教学材料 中心自编辅导资料 教学目标 熟练掌握三角形、线段的垂直平分线、角平分线等有关的性质及判定定理，结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，会按要求进行尺规作图。 教学重难点 运用三角形、线段的垂直平分线、角平分线等有关的性质及判定定理进行命题的证明。 教学过程设计 一、等腰三角形 【知识点】 证明三角形全等的判定方法(SSS,SAS,ASA,AAS,证直角三角形全等除上述外还有HL)及全等三角形的性质是对应边相等，对应角相等。 等腰三角形的有关知识点： 等边对等角；等角对等边；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一） 等边三角形的有关知识点： 判定：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形； 三条边都相等的三角形是等边三角形； 三个角都是60°的三角形是等边三角形； 有两个叫是60°的三角形是等边三角形。 性质：等边三角形的三边相等，三个角都是60°。 4、反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出 与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法。 【典型例题】 例1: 如下图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，交∠BAC的平分线于点D，求证：MD=MA. 例2 如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD. 例3： 如图：已知AB=AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足, 求证: ① AC＝AD； ②CF＝DF。 例4 如图1、图2，△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90o， （1）在图1中，AC与BD相等吗？请说明理由 （2）若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达力2的位置，请问AC与BD还相等吗？为什么？ 直角三角形 【知识点】 1、直角三角形的有关知识： 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 2、互逆命题、互逆定理： 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 【典型例题】 例1 ：说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假： （1）四边形是多边形； （2）两直线平行，同旁内角互补； （3）如果ab=0,那么a=0,b=0； （4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等 例2：如图，中，，求的长。 例3：如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？ 例4 ：如图2-5所示．在等边三角形ABC中，AE=CD，AD，BE交于P点，BQ⊥AD于Q．求证：BP=2PQ． 线段的垂直平分线和角平分线 【知识点】 线段的垂直平分线： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 角平分线： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 【典型例题】 例1：（1）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A＝，求∠NMB的大小 （2）如果将（1）中∠A的度数改为，其余条件不变，再求∠NMB的大小　 （3）你发现有什么样的规律性？试证明之. （4）将（1）中的∠A改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改 例2：在△ABC中，AB的中垂线DE交AC于F，垂足为D，若AC=6，BC=4，求△BCF的周长。 例3：如图所示，AC=