等差数列专题(教师版).docxVIP

第  PAGE \* MERGEFORMAT 7 页 共  NUMPAGES \* MERGEFORMAT 7 页 等差数列专题 一、等差数列知识点回顾与技巧点拨 1．等差数列的定义 2．等差数列的通项公式和前n项和公式 3．等差中项 A是x和y的等差中项A＝eq \f(x＋y,2). 4. 两个技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元． (1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…. (2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 4．等差数列的常用性质 （1）当时,则有，特别地，当时，则有. 注：。 （2）若、为等差数列，则都为等差数列。 （3） 在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an,an+m,an+2m,…,为等差数 列，公差为md。 （4）是公差为d的等差数列，是前n项和，那么数列,…成公差为k2d的等差数列。 （5）设数列是等差数列，d为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和 1）当项数为偶数时，， 2）当项数为奇数2n-1，则 （6）等差数列前n项和为Sn,Tn ，则 5、与之间的关系 6．等差数列的前n项和公式和最值问题 （1）等差数列前n项和公式与二次函数的关系 （2）的最值求法 ? ? ? L大例题与练习 考点1:等差数列的基本计算 题型1：已知等差数列的某些项，求某项 【例1】已知为等差数列，，则 24 练习： 1．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为 (　B　) A．765 B．665 C．763 D．663 2．若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z的值为 (　C　) A．26 B．29 C．39 D．52 3．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝__15______. 4．已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值． 解　(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d. 由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2. 从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n. (2)由(1)可知an＝3－2n， 所以Sn＝eq \f(n[1＋?3－2n?],2)＝2n－n2. 由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35， 即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5. 又k∈N*，故k＝7.  题型3：求等差数列的前n项和 【例3】已知为等差数列的前项和，. （1）； ⑵求；⑶求. 解：由，得，当时，；当时，. （1）； ⑵ ； （3）时，， 当时， 练习：1．数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0 (n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn. 解　(1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0.∴an＋2－an＋1＝an＋1－an＝…＝a2－a1. ∴{an}是等差数列且a1＝8，a4＝2，∴d＝－2， an＝a1＋(n－1)d＝10－2n. (2)∵an＝10－2n，令an＝0，得n＝5. 当n5时，an0；当n＝5时，an＝0； 当n5时，an0. ∴当n5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn ＝2·(9×5－25)－9n＋n2＝n2－9n＋40， 当n≤5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2. ∴Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(9n－n2　　　?n≤5?,n2－9n＋40 ?n5?)) 2．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146所有项的和为234，则它的第七项等于 （ ） A．22 B ．21 C．19 D．18 . 考点2：等差中项的应用 例1、成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数． 解　设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由题设得 eq \b\lc\