椭圆中焦点三角形问题的求解策略.pdfVIP

《数学之友) 2014年第 l2期 椭圆中焦点三角形问题的求解策略 解 索 徐俊峰 (江苏省宜兴市东山高级中学，214200) 有关焦点三角形 (过椭圆一个焦点作直线，交 求 SAan~范 围；设直线 AB方程为 Y (+1)利用 椭圆于A，B两点，与另一个焦点连成三角形)的性 弦长公式求得 lABI，同时求得F2到AB距离为d， 质的考查越来越普遍．题型涉及到填空题和解答题； s 朋 =l lABId 解题方法涉及到椭圆的定义、直线和椭圆的位置关 =12 ／k4+k2，利用导数求得 系，因与圆紧密相连而成为命题热点．下面结合具体 最大值，但此种解法运算复杂，常常会让学生望而却 实例就焦点三角形问题的求解策略作探索． 步，若仔细观察图中FF2=2 ，不难想到下述 1 焦点三角形周长 问题求解策略——紧扣 解法． 解 ：由焦点三角形周长及面积求得 r=S；设直 第一定义 例 1 如 图，在 △ACB 线方程为 =ny一1(可避免讨论斜率的存在性) 中，_／ACB=90。，AC=4，BC 、 ＼ r =ny一1， = 3，点D在边 BC上，椭 圆 — G是以A，D为焦点，且经过 0 ／o| i_2+_2：1，得4+3n’一6一9=。， 点B，C，现 以线段AD为 得y。+ = ，y 一 ， 轴，AD中点 0为原点，建立 直角坐标系xoy，求椭圆G方程． 由此得 Js△ =了1IFF21× 一 2I l 解：A，D为焦点，B，C在椭圆上，由椭圆第一定 义可知ABC周长为 4口，在AABC中易求AB=5，周 12 长为 12，由此得 a=3；在三角形ACD中由第一定义 ● 广 ’ 得AC+CD=2a=6，因此 CD=2，AD=2 ，得 c= 令而 =￡( )，得．s 12 ， 2 2 ．， ，椭圆方程为 + =1． y ‘t 启示：本题两次使用椭圆定义，得到AABC周 因3t+÷在[1，∞)单调递增，得SAF2A口≤3， 长为4a，AACD周长为2口+2c，巧用定义解决与焦 因此得0r≤-2-． 点三角形有关的周长问题 叶 启示：从阅卷情况来看，笔者发现一部分尖子生 2 焦点三角形面积 问题求解策略——抓住 未能答对此题，