任意角三角函数定义的有关知识结构图.docVIP

§6.4 构建数学知识的结构框图 “身体的生长，由于事物的融化。心智的生长，由于知识的组织。思维不是一架机器，会把各种材料，照一个模型，制成一种商品。它是一种能力，会把个别的事物所引起的个别的暗示，探索到底，而联络起来”。不能建立知识之间的联系，学生就需要记忆太多的孤立的概念和结论；有了知识之间的联系，学生就能更容易记忆和理解知识。 建立数学知识之间的联系，构建数学知识的结构框图，就成为数学教学思维导向的有效策略之一。在数学教学中，数学教师需要适时对学生所学的知识加以概括总结。通过对新旧知识进行横向对比和纵向沟通，厘清新旧知识的衔接点，找到新旧知识的结合部，构建数学知识结构框图，展示数学知识的内部结构，打通数学知识之间的关系，强化记忆、深化理解，帮助学生达到对数学对象的性质及相互关系的深刻认识和本质把握，促成良好数学认知结构的形成。 就本节课的教学而言，可以沿着以下几条路径来构建任意角的三角函数的知识结构体系： 角的扩张(锐角——弧度制——任意角)； 定义的推广(锐角三角比——在弧度制意义下重新认识锐角三角比——任意角的三角函数)； 研究工具(平面直角坐标系——终边上点的坐标——单位圆——单位圆与终边的交点坐标)； 定义方式(几何定义法——终边坐标法——单位圆定义法)； 思想方法(主导思想：数形结合；弧度制：对应思想；三角函数的定义：函数思想；从锐角到任意角：类比思想、从特殊到一般)。 构建出的任意角的三角函数的知识结构框图如图6.4.1所示： 当然，这种知识结构框图的构建需要学生的主动参与。教师在每个重要概念、重要结论的新授课结束之后，或每个单元、每个学期结束之际，应让学生通过对所学知识的归纳整理，按数学知识的发生发展历程、数学知识之间的逻辑关系、数学知识中蕴含的思想方法等理出线索。同时在归纳已有的知识结构的基础上，让学生猜测可能将要学习的有关知识，从数学的角度和方法论的角度提出可能会研究的问题。长期下去，便可以促使学生理解前后知识的衔接点，把握知识之间的联系，构建出数学知识的结构框图，达到对数学知识的整体认识。 (美)约翰杜威著，孟宪承、俞庆棠译.思维与教学[M].上海:商务印书馆，1936. 任意角三角函数定义的有关知识 角：角的定义、角的分类（角概念的扩张）、终边相同的角、象限角、角的度量（弧度制） 锐角三角函数的定义： sinα= cosα= tanα= 研究工具：平面直角坐标系、终边上点的坐标、单位圆、三角函数线 思想方法：数形结合、函数思想、对应思想、类比思想、从特殊到一般 终边定义法： 一般地，对于任意角α，设α的终边上任意一点P的坐标是(x,y)，我们规定： (1)比值叫做α的正弦，记作sinα= ; (2)比值叫做α的余弦，记作cosα = ; (3)比值(x≠0)叫做α的正切，记作tanα=。 其中，r=。 单位圆定义法： 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么 (1) y叫做α的正弦，记作sinα= y; (2) x叫做α的余弦，记作cosα= x; (3)叫做α的正切，记作tanα= ( x≠0)。 定义域： 符号： sinα: {α|α∈R}; cosα: {α|α∈R}; tanα: {α|α∈R,α≠k?+,k∈Z}. 图6.4.1