代数结构与拓扑结构Cartan.docVIP

/blog/static/6742112520081231911205/ R^n至少有两种重要的结构：拓扑结构和代数结构（线性空间结构）。函数连续性只涉及第一种，而可微性则涉及两种（？拓扑—微分拓扑，拓扑群—李群）因为微分Df(x)=A的定义牵涉到线性运算和极限概念：f(x+h)-f(x)-Ah=o(||h||)可微性的概念可以推广到有拓扑结构和线性代数结构这两种结构的其他空间。 现代微分概念源于非线性问题的局部线性化。 半球面是可以摊成平面区域的 要把地球表面画成地图，就非得把球面“撕破”不可 /lunwen/2008/200810/266972_5.shtml /f?kz=113722720 同伦等价(homotopy equivalent)是拓扑学中所关心的另外一种等价关系，它的 要求比同胚更宽松。取一个拓扑空间，对它进行某些特定的连续形变，所得到的空 间与原来的空间是同伦等价的。举个例子：初始空间是一个实心球，我们可以把它 压缩成一张没有体积的圆盘，再搓成一条没有面积的线段，甚至挤成一个连长度都 没有的点，得到的这些空间都跟原来的同伦等价；我们也可以从原来的实心球里 “长”出半个圆盘来作为“耳朵”(半圆盘的直径还贴在实心球表面上)，甚至再 “长”出几条线段来作为“触角”(线段的一端在实心球表面上)，所得到的空间还 是跟原来的同伦等价。“终结者2”里面那个给人深刻印象的液体机器人，它在身体 没有撕裂开的情况下的各种形态就是同伦等价的。 研究拓扑的一种方法是把拓扑问题转化为代数问题。最常见的例子是计算一个拓 扑空间各个维数的同调群(homology group)和同伦群(homotopy group)，然后根据这 些群的性质推断拓扑空间的性质。一维同伦群又叫做基本群(fundamental group)。如 果空间的基本群是只包含单位元素的平凡群，就称它是单连通的(simply-connected)。 法国数学会组织的系列讲座 给定映射A-B: 映上的满射 满同态映射(对任意B中的b,存在A中的a使a-b) 1-1的单射??单一同态映射(a1!=a2=b1!=b2) 1-1映射 双射 同构映射 什么是环？同余？理想？ ? 引入环的作用： 环比域更一般，对乘法不要求成为交换群。 理想是基于环定义的一个概念（具体定义技术性比较强）。 非结合代数是环论的一个推广。 ?数学家发现，几乎对任何代数课题（矩阵、多元二次型的代数、超数系、同余式、多项式方程的解的理论）和出现的问题，都可能用任何一种抽象结构去代替实数系和复数系；同样，对于数论的问题，可以用以个环去代替整数；甚至可以考虑系数属于任意域的函数和幂级数。 Wedderburn推广了线性结合代数（超复数系）的工作，用任何域代替实数系或复数系；我们也可以用一个环代替一个域；系数属于任意域或有限域的方程论也被研究；同样研究了系数属于任意域的二次型。 数域都是数环，但数环可能不是数域。 代数是线性空间与环的结合 幺环R上的记号x的多项式f（x） 幺环R上x的多项式环R[x]={f（x）}，R是R[x]的子环 系数域F是多项式环F[x]的子集 /wiki/%E5%90%91%E9%87%8F%E7%A9%BA%E9%96%93 向量空間是一個[I]F[/I]-模 [I]V[/I]的成員叫作[I]向量([/I]模元素[I])[/I]而[I]F[/I]的成員叫作[I]純量([/I]環元素[I])[/I] ? 若[I]F[/I]是實數域[B]R[/B]，[I]V[/I]稱為[B]實數向量空間[/B]. ? 若[I]F[/I]是複數域[B]C[/B]，[I]V[/I]稱為[B]複數向量空間[/B]. ? 若[I]F[/I]是有限域，[I]V[/I]稱為[B]有限域向量空間[/B] ? 對一般域[I]F[/I]，[I]V[/I]稱為[I]F[/I]-[B]向量空間[/B] /wiki/%E6%A8%A1 模(加群M)同向量空間一樣是加法阿貝爾群 F-向量空间V是F-模 ?? 第一讲 代数结构 引言：代数的粗略定义 运算的概念：内合成法则、外合成法则 内合成法则的各种性质：结合性、交换性、中性元、逆元 由1个或多个合成法则定义的代数结构：群、环、体 同构概念： 从已有的代数对象构造新的代数对象： 商结构： 与等价关系相容的合成法则：