数学模型-初等模型.pptVIP

开设目的 某学校有3个系共200名学生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名。现学生代表会议设20个席位，公平而又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙三系分别应占有 个席位。 初等模型之 公平的席位分配 10，6，4 现在丙系有6名学生转入甲乙两系，有3人转入甲系，3人转入乙系。 这时代表席位应该怎样分配呢？ 表1 按照比例并参照惯例的席位分配 21 21.000 3 3.570 7 6.615 11 10.815 参照惯例结果 比例分配席位 21个席位的分配 20 20 100.0 200 总和 4 3.4 17.0 34 丙 6 6.3 31.5 63 乙 10 10.3 51.5 103 甲 参照惯例结果 比例分配席位 20个席位的分配 学生人数的比例(％) 学生 人数 系别 建立数量指标 讨论A,B两方公平席位分配的情况。 设两方人数分别为 和 ，占有席位分别为 和 ，则每个席位代表的人数为 和 。 公平的条件： 但是，通常情况下 ，即不公平， 并且 数值较大的一方吃亏，即对这一方不公平。 则 。 不妨假设 不公平程度可用数值 衡量。 分析： 设(1) 则 ； 又设(2) 为了改进上述绝对标准，故采用相对标准。 若 ，则定义 为对A的相对不公平度。 若 ，则定义 为对A的相对不公平度。 原则：使 尽可能小。 不失一般性可设 ，即对A不公平。当再增加1席时，关于 的不等式有以下可能： 确定分配方案 利用 和 讨论，当增加1席时，应该分配给A还是B。 1. ， 1. ，这说明即使A方增加1席仍然对A不公平，所以这一席显然应该分给A方； 2. ，这说明A方增加一席时将变为对B不公平，参照 可计算出对B的相对不公平度为 3. ，即当B方增加一席时将对A不公平，参照 可计算出对B的相对不公平度为 所以如果 则这1席应分给A方；反之则分给B方。 由 得 记 则增加的1席应分给Q值较大的一方。这种席位分配方法称为Q值法。 第20席： 记 则增加的1席应分给Q值较大的一方。这种席位分配方法称为Q值法。 第21席： 寻求公平分配席位的方法的关键，是建立衡量公平程度的既简单又简明的数量指标，本模型提出的的指标是相对不公平度，在这个前提下得到的Q值方法应该是公平的。但是如果跳出这个前提，公平席位问题还远未解决。 评注 练：学校共有1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试着用以下方法分配各宿舍的委员数： (1) Q值法。 (2) d’Hondt方法：将A,B,C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,…相除，其商数如表： 86.4 108 144 216 432 C 66.6 83.25 111 166.5 333 B 47 58.75 78.3 117.5 235 A 5 4 3 2 1 初等模型之 双层玻璃窗的功效 如图所示，两层厚度为 的玻璃夹着一层厚度为 的空气。据说这样做是为了保暖，即减少室内向室外的热量流失。 墙 墙 墙 墙 模型假设 1. 热量的传播只有传导，没有对流。即假定窗户密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的。 2. 室内温度 和室外温度 保持不变，热传导过程处于稳定状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数。 3. 玻璃材料均匀，热传导系数是常数。 在上述假设下热传导过程遵从下面的物理定律： 厚度为 的均匀介质，两侧温度差为 ，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量 与 成正比，与 成反比，即 为热传导系数。 模