第四章 数据特征测度4 变异指标.pptVIP

数据的特征和测度(本节位置) 离中趋势(离散趋势) 一、标志变异指标的概念和作用 1．概念 标志变异指标是反映变量分布离散趋势、与平均指标相匹配的指标。 2．作用 （1）反映变量分布的离散趋势； （2）是对平均数的代表性程度的量度； （3）是对事物发展均衡性的量度。 二、标志变异指标的计算 （一）极差（全距） （二）平均差 （三）标准差和方差 （四）离散系数 （五）离中趋势的其他测度量 异众比率 四分位差 （一）极差(range) 一组数据的最大值与最小值之差 离散程度的最简单测度值 易受极端值影响 未考虑数据的分布 （二）平均差(mean deviation) 各变量值与其均值离差绝对值的平均数 能全面反映一组数据的离散程度 数学性质较差，实际中应用较少 平均差 (例题分析) 平均差 (例题分析) （三）标准差和方差(standard deviation and variance) 标准差是各变量值与其均值离差平方的算术平均数的平方根。标准差的平方为方差。 数据离散程度的最常用测度值 反映了各变量值与均值的平均差异 根据总体数据计算的，称为总体方差或标准差；根据样本数据计算的，称为样本方差或标准差 总体方差和标准差 (population variance and standard deviation) 样本方差和标准差 (simple variance and standard deviation) 未分组数据： 样本方差自由度(degree of freedom) 一组数据中可以自由取值的数据的个数 当样本数据的个数为 n 时，若样本均值?x 确定后，只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一个数据则不能自由取值 例如，样本有3个数值，即x1=2，x2=4，x3=9，则 ?x = 5。当 ?x = 5 确定后，x1，x2和x3有两个数据可以自由取值，另一个则不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3则必然取2，而不能取其他值 样本方差用自由度去除，其原因可从多方面来解释，从实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差s2去估计总体方差σ2时， s2是σ2的无偏估计量 样本标准差 (例题分析) 样本标准差 (例题分析) 方差或标准差是根据全部数据计算的，它反映了每个数据与其均值相比平均相差的数值，因此能准确地反映出数据的离散程度。此外方差具有许多优良的数学性质。。 （四）离散系数(coefficient of variation) 1. 标准差与其相应的均值之比 对数据相对离散程度的测度 消除了数据水平高低和计量单位的影响 4. 用于对不同组别数据离散程度的比较 5. 计算公式为 离散系数 (例题分析) 离散系数 (例题分析) 顺序数据：四分位差 1. 异众比率(variation ratio) 1. 对分类数据离散程度的测度 2. 非众数组的频数占总频数的比率 3. 计算公式为 异众比率 (例题分析) 2. 四分位差(quartile deviation) 对顺序数据离散程度的测度 也称为内距或四分间距 上四分位数与下四分位数之差 QD = QU – QL 反映了中间50%数据的离散程度 不受极端值的影响 用于衡量中位数的代表性 四分位差 (例题分析) 3. 标准分数(standard score) 1. 也称标准化值 2. 对某一个值在一组数据中相对位置的度量 3. 可用于判断一组数据是否有离群点 4. 用于对变量的标准化处理 5. 计算公式为 标准分数(性质) 均值等于0 2. 方差等于1 标准分数(性质) z分数只是将原始数据进行了线性变换，它并没有改变一个数据在改组数据中的位置，也没有改变该组数分布的形状，而只是将该组数据变为均值为0，标准差为1。 标准分数（意义举例） 甲班三位学生的期末考试语文、数学、外语三门科目的成绩为例。见下表。 标准分数（意义举例） 下表是一名学生的数学、语文的期中、期末成 绩。 标准化值 (例题分析) 经验法则 ?经验法则表明：当一组数据对称分布时 约有68%的数据在平均数加减1个标准差的范围之内 约有95%的数据在平均数加减2个标准差的范围之内 约有99%的数据在平均数加减3个标准差的范围之内 数据类型与离散程度测度值 §4.4 标志变异指标-离散程度的测度（Dispession） 分类数据：异众比率 顺序数据：四分位差 数值型数据：方差及标准差 相对位置的测量：标准分数 相对离散程度：离散系数 数据的特征和测度 分布的形状 离散程度 集中趋势 众