高等数学九章9 7.pptVIP

一、问题的提出 二、方向导数的定义 三、梯度的概念 四、小结 上一页 下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 第七节 方向导数与梯度 四、小结 一、问题的提出 二、方向导数的定义 三、梯度的概念 实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行． 讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题． （如图） 当 沿着 趋于 时， 是否存在？ 记为 证明 由于函数可微，则增量可表示为 两边同除以 得到 故有方向导数 解 解 由方向导数的计算公式知 故 推广可得三元函数方向导数的定义 解 令 故 方向余弦为 故 结论 在几何上 表示一个曲面 曲面被平面 所截得 所得曲线在xoy面上投影如图 等值线 梯度为等值线上的法向量 等值线的画法 播放 例如, 梯度与等值线的关系： 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值. 梯度的概念可以推广到三元函数 解 由梯度计算公式得 故 1、方向导数的概念 2、梯度的概念 3、方向导数与梯度的关系 （注意方向导数与一般所说偏导数的区别） （注意梯度是一个向量） 思考题 思考题解答 练 习 题 练习题答案 上一页 下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 依定义，函数在点沿着轴正向、轴正向的方向导数分别为； 沿着轴负向、轴负向的方向导数是 . 例1 求函数在点处沿从点 到点的方向的方向导数. 故与方向同向的单位向量为 所求方向导数 这里方向即为, 例2 求函数在点（1，1）沿与轴方向夹角为的方向射线的方向导数.并问在怎样的方向上此方向导 数有 （1）最大值； （2）最小值； （3）等于零？ （1）当时， 方向导数达到最大值; （2）当时， 方向导数达到最小值; （3）当和时， 方向导数等于0. 对于三元函数，它在空间一点沿着方向L的方向导数 ，可定义为 （ 其中） 同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都存在，且有 设方向L的方向角为 例3 设是曲面 在点处的指向外侧的法向量，求函数在此处沿方向的方向导数. 定义 设函数在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点，都可定出一个向量，这向量称为函数在点的梯度，记为 . 其中 当时， 有最大值. 设 是方向 上的单位向量 由方向导数公式知 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值．梯度的模为 . 当不为零时， 轴到梯度的转角的正切为　． 三元函数在空间区域G内具有一阶连续偏导数，则对于每一点，都可定义一个向量(梯度) 类似地,设曲面为函数 的等量面，此函数在点的梯度的方向与 过点P的等量面在这点的法线的一 个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较 高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方 向的方向导数. 例4 求函数 在点 处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零？ 在处梯度为0. 　讨论函数在点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？ 同理： 故两个偏导数均不存在. 沿任意方向的方向导数, 故沿任意方向的方向导数均存在且相等. 填空题: 函数在点处沿从点到点 的方向的方向导数为_____________. 设, 则__________________. 已知场场的梯度方向的方向导数是__________________. 称向量场为有势场,是指向量与某个函数 的梯度有关系__________________. 设都是的函数,的各偏导数都存在且连续,证明: 求在点处沿点的向径的方向导数,问具有什么关系时此方向导数等于梯度的模? 二、求函数在点处沿曲线 在这点的内法线方向的方向导数. 一、1、； 2、； 3、； 4、. 二、. 四、.