判别式的整体结构：b^2-4ac=(2ax+b)^2(下).pdfVIP

维普资讯 18 中等 数 学 判别式的整体结构：b2—4ac=(2ax+b)2(下) 罗增 儒 (陕西师范大学数学系，710062) b一4ac=(2acx+b)， ⑩ 2 判别式法的应用透析 把戈=一1，t,C／=b—l代入，注意到b≤0，得 在上面的内容中，我们已经看到了判别 b一4ac=[2(b—1)(一1)+b] 式法在例2、例3中的“巧思妙解”．下面，我 = (2一b)≥4． 们换一个角度，再以2004年的一道竞赛题的 当b=0，从而ac=一1时，b一4ac取到 判别式处理来揭示：巧恩妙解不是特殊技巧 最小值4． 的神秘操作，其背后是对数学知识的深层认 说明1：上述简化证明中，式⑩发挥了重 识，是题目结构特征的充分挖掘． 要作用，这表明，题目本质关系的显化是 巧“ 2．1认识题 目特征的深层结构 思妙解”的一个源泉．整个求解用心算即可完 例4 已知 口0，b≤0，c0，且 成． ~／b一4ac=b一2ac． ⑩ 说明2：上述解法没有用到 口0，c0 求b一4ac的最小值． 的条件，只用到O,C≠0，因而条件可以减弱． (2004，T“RULY~信利杯”全国初中数学 解法2：已知条件即 竞赛) 一 b+ 文[5]的标准答案，其基本思路是由 2 b2—4ac构造二次函数 这表明一元二次方程 Y=a2+ +c + +∞=0 ’ ⑩ ． 然后进行根与系数的冗长讨论．其实，由式⑩ 有一个实根 l=一O,C．从而， 平方后化简有(条件的本质关系) ：= =一l(用到ac#0)． I ∞ =b—l， 把 ：=一l代入式⑩得 两边乘以一4后再加上b便可得 l—b+∞=0． · ⑩ b一4ac=(2一b)≥4(b--0)． 这时，由b≤0知 为了体现本文的主题，我们用构造方程 ∞ =b—l 的方法来处理． 解法1：已知条件即 ≤一l(由b≤0可保证 ∞0)， ⑩ 所以， 二 ：一l(∞≠0) l一∞≥2． 0 二O．,17 这表明二次方程 把式⑩、式0一起代入判别式，有 麟 + +l=0 ⑩ b一4ac=(1+∞)一4ac 有实根 =一l，代入式⑩得