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PAGE PAGE 3 《浅议数形结合方法之应用》 浅议数形结合方法之应用 （珠海市一中 王明军） 数形结合的是高考重点考察的数学思想之一。在各个层次、各个阶段的命题中，都有着较充分的体现。数形结合法的应用则直接体现了这种数学思想，这种方法使用的主动性和熟练性，集中表现出学生的数学意识和潜质,反映了数学的简练和趣味。就中学数学内容而言,数形结合多指以形助数,即以图形或图象之关系反映相应的代数关系,并解决有关代数问题,具体应关注以下几个方面: 以图形增强代数概念的直观性 已知P点分的比为,则B分的比为多少? 此问题若以有向线段数量来分析,至少要注意三个方面:(1)点分有向线段所成比的定义(2)对于数量有:AB=-BA(3) 对于数量有:AB=AP+PB,然后进行代数式的恒等变形.而如果结合具体图形,由题易得如图A、B、P三点的分布,因此。 例二、比较大小arcsin_____arccos 代数方法应考虑以函数单调性去解决,这就存在函数名称同化的问题，此正为该题之难点若将两式理解为已知函数值的锐角，则可得A= arcsin和B= arccos为以下图形中两角，因此易得BA。 例三、若0x比较x、sinx、tgx的大小。 若能将此三数视为函数y1=x、y2=sinx、y3=tgx在0x的某一刻的函数值，可用函数图象的高低来解决,但问题往往出现在是否能画出这三个函数图象在同一坐标系下的情形,一种更好的方法是借助三角函数线及弧长，如图易知sinx=， tgx=，x=弧长AB，因此tgxxsinx。 二、利用距离解决有关绝对值及复数模的问题 对于实数x1 、.x2 ， 即为数轴上x1 点至x2 点距离, 对于复数z1、z2，即为复平面内z1点至z2点的距离。 例四、命题甲：h, h, 命题乙：2h, 则甲是乙的 （ ） 充分不必要条件(B)不充分但必要条件(C) 充要条件(D) 既不充分又不必要条件 利用距离意义可知满足甲, 即a和b均在区间(1-h, 1+h)内, 而满足乙, 指a、b间距不超出2h，因此可知甲是乙的充分不必要条件。 例五、设arg(Z-4)=，则|Z+1|的最小值为多少? 由条件易知Z的轨迹应在如图射线上，因此的最小值为。 三、利用有关函数草图解决代数问题 函数图象与函数解析式是最紧密的数形结合,特别对于较易得到草图的函数参加的代数问题,利用其图象往往可一蹴而就。 例六、不等式x的解集是 （ ） [-2,2] (B) (-1,2) (C) [0,2] (D) ( ,2) 若用无理不等式的通用解法,此题易考虑不周，从而丢失某一组有理不等式组或丢失某一有理不等式，而画出函数的图象如图, 仅分析选择支的区间形态, 便可知选 (A) 例七、已知方程|x2-4x+3|+k=0有四个根,求k的取值范围。 若以代数方法须保证方称x2-4x+3+k=0在区间 (-,1)(3,+)内有两根，且方程x2-4x+3-k=0在区间[1,3] 内有两根。而画出y=|x2-4x+3|，y=-k的图象后,只须两图象有四个交点即可。即-1k0。 例八、已知集合A={x | lg(x2-2ax+a2+1)lg2}， B={x | (x-a)(x-2)0}，若AB=R，求实数a的范围。 解出A并可确认为A={x | a-1xa+1}，而确认B则需要对a分类，此法甚赘。若能视不等式 (x-a) (x-2) 0的解为二次函数y=f(x)=(x-a) (x-2)的正区间，则只要a-1和a+1满足f(a-1)0和f(a+1)0即可,这就巧妙回避了分类讨论。 例九.若关于x的不等式的解集为，求实数a、b的值。 不等式中的字母系数a、b，使求解变得渺茫，但若化为,则仅需关心与即可，由图知只要通过和，因此易求出，。此法思路清晰，令人拍案。 四、利用解析几何中公式解决有关问题 一些代数内容或明或暗具有解析几何中诸如两点间距离、两点连线斜率、点到直线距离等特征，了解并应用之便可解决问题。 例十、已知实数x、y满足x+y-4=0，求x2+y2的最小值。 将题中x2+y2理解为直线x+y-4=0上点到(0, 0)距离平方的最小值,结合图形即可得最小值为8。 例十一、求函数y=+的最小值. 改造为y=+，并理解为点(x, 0)至(-3, 8)和(2, 2)距离之和，易得最小值为。 例十二、函数y=的最大值为________,最小值为_________. 将之理解为定点(2, 3)与动点(-cosx, sinx)之连线斜率，且不难得出动点(-cosx, sinx)的轨迹为x2+y2=1,则只要求出过(2, 3)的单位圆的两切线斜率即可。 例十三