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抓住关键、把握实质 ----《函数的单调性》教学设计 牡丹江市第一中学　　　于海珍 在数学教育本质上是使学生不仅知道许多重要的数学概念、方法和结论，而且领会到数学的精神实质和思想方法。对于一个新概念的给出，要抓住概念中的关键所在，把握其实质问题。 在以往教学中设计函数的单调性时，常由函数的图像引出函数单调性的语言描述的概念，之后在证明单调性的时候却要用到它的符号语言，对于这种转换，教学中没有过渡的过程，让学生掌握起来却不太容易，为此，在教学中采取如下设计： 新课引入 师：上一节我们已经研究了函数的奇偶性，现在观察这两个函数的图像并判断函数的奇偶性。 （幻灯片1：给出函数与的图像） 生：由函数的奇偶性知，在定义域上是奇函数。定义域上是偶函数。 师：很好。请同学们继续观察这函数的图像，随着的变化有什么样的变化趋势？ 生：对于来说，随着的增大而增大；而是在上随着的增大而减小，在上随着的增大而增大。 师：很好，观察的很仔细。那么，我们就将函数在上称为减函数，在上称为增函数。把函数在某个区间上增大或减小的性质就称为函数的单调性。 问题探究 师：我们是用语言来描述增函数和减函数的，现在请同学们思考一下，是否可以用数学的符号语言来描述呢？如果可以，应该怎样描述？ 生：（板演）在上为增函数；在上为减函数。 师：（强调）这里的D为函数的定义域，为定义域上的某一区间。现给出具体的定义。 （引导学生阅读理解定义） （幻灯片2：设函数的定义域为D，区间则 （1）在区间上是增函数； （2）在区间上是减函数。 如果函数在某个区间上是增函数或减函数，那么就说这个函数在这一区间上是单调函数；这个区间就叫函数的单调区间。） 师：现在请同学根据函数单调性的定义大家互相探讨一下，说说你自己的观点。 （幻灯片3：函数在定义域内为减函数，这个观点你同意吗？） 学生讨论一段时间后，给出观点： 生（甲）：我同意这个观点。我根据函数的图像可以观察得到这个函数的单调性。 生（乙）：我不同意，若取，则若根据定义，则应是增函数，而根据图像，却是减函数。 师：那么你能解释为什么会出现这样的情况吗？ 生：因为定义中要满足在同一区间上任取的两个值，而的定义域内有两个单调区间，函数在每个单调区间上都是减函数。 师：那么应该如何回答函数的单调性？ 生：函数在区间上是减函数，在区间上是减函数。 师：很好，通过大家对这道题的讨论，我们可以知道：定义中的要满足如下几个条件。 （幻灯片3：定义中的满足：①的任意性；②在同一区间上；③规定的大小次序。） 师：思考下一个问题，如何证明或判断一个函数在某个区间上的单调性？ （幻灯片4：例题　证明：函数在上是减函数） 生：根据定义，先在区间上任取，规定大小次序，之后判断的大小关系。 师：如何判断的大小关系？ 生：作差，还可以作商。但常用的是作差。 师：所以证明单调性的步骤大体为：设元―作差－变形－定号－结论。好，我们现在已经知道应该如何证明，那么现在请同学们具体的证明一下。 （教师请一名同学板演） 师：要严格地根据定义判断或证明函数的单调性。 三、巩固应用 （幻灯片5：练习1、设f(x) 是R上的减函数，则判断f(a2+1)与f(a)的大小关系。 练习2、若函数是R上的增函数且f(x2+x)f(x-a)对一切x∈Ｒ都成立，则求实数a的取值范围。） 师：我们要比较两个函数值的大小关系，如果有函数解析式，则可以代入比较，但是若是抽象函数应如何入手？ 生：可以利用函数的单调性及自变量取值的大小关系来确定函数值的大小关系。 师：是否也可以根据函数的单调性及函数值的大小关系来确定自变量的大小关系？应该注意什么问题？ 生：可以。要注意自变量要在单调区间上。 师：也就是对函数单调性定义的逆用。 （幻灯片6：定义的逆用：（1），若在M上是增（或减）函数（或 （2）若且在M上是增（或减）函数 四、教学反思 本节课整体的设计思路是通过对知识的探讨，对函数的单调性定义从各个角度来分析，通过数形结合的方法使学生在直观上对函数的单调性有个初步的理解；引导学生用数学的符号语言来定义函数的单调性，为下面证明或判断函数的单调性作好准备；展开对函数单调性的讨论，可以加深学生对定义的理解，由感性认识上升到理性认识，层层深入，符合学生的思维习惯。通过对例题的处理，使学生明确如何用定义来证明函数的单调性及其步骤；最后，通过对习题的处理， 让学生了解定义的逆用，会举一反三、融汇贯通、灵活应用。通过函数的单调性的学习，使学生认识事物的变化形态，形成细心观察、认真分析的良好思维习惯。并且，让学生了解学习一个新的概念及定义要把握其本质的条件，为以后处理好有关问题起到事半功倍的效果。