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托勒密定理的三角函数证法
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托勒密定理的三角函数证法
110001 中国医科大学数学教研室 李明 110004 东北大学工商管理学院 马峥
定理的背景
古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里给出并证明了一条关于圆内接四边形的引理，现称为托勒密定理（参见文献1），其内容是：圆内接四边形两组对边之积的和等于两条对角线之积，即（如图1）.
对于托勒密定理的证明，数学学者们已经给出了多种方法，
但大多数的方法都包含着一定难度的“引辅助线”技巧，
如比较常用的“构造相似三角形”方法就是这样（参见文献2）.
下文将借助三角函数这个强有力的数学工具来直接证明该定理，
从而巧妙地绕过“引辅助线”等构造性障碍.
定理的分析
在图1中观察欲证等式两端的六条线段，它们显然都是某个圆内接三角形的边.所以，若设外接圆的直径为，并设边所对应的圆周角依次为，则由正弦定理得.
逆向思维，欲证圆内接四边形边的恒等式，
只需证三角恒等式，
即证.
定理的证明
由图1，显然，于是
两端乘以外接圆直径的平方，并结合正弦定理得
，定理证毕.
参考文献
1 [美]莫里斯·克莱因著，张理京、张锦炎、江泽涵译.古今数学思想[M].上海：上海科学技术出版社，2002
2 HYPERLINK javascript:WriterSearch(苑建广); 苑建广.托勒密定理在解题中的应用[J]. HYPERLINK 97:8082/QK/86509A/index.asp?CSID=%7bC3A725FF-BFAC-4943-A8EC-446ED58817BA%7d 中学数学教学参考(下半月初中),2007,1
第一作者简介：李明，1981年9月出生，男，汉族，辽宁沈阳人，辽宁大学应用数学硕士毕业，中国医科大学数学教研室教师，中国数学会会员，全国初等数学研究会会员,曾获“1999年全国高中数学联合竞赛二等奖”，研究方向：高等数学教学及初等数学研究。
论文成果：
1.拉格朗日乘数法在平面几何中的应用.辽宁大学04届本科优秀毕业论文一等奖；
2.整数角度的三角函数值研究.西北师范大学《数学教学研究》06年2期(专辑)；
3.一个面积最大值问题的推广.北京师范大学《数学通报》07年11期；
4.一个二项式展开问题的推广.华中师范大学《数学通讯》08年12期；
5.四类平均三角形的一条共性.华东师范大学《数学教学》08年6期。
联系方式 E-mail: HYPERLINK mailto:liming810808@163.com liming810808@163.com
第二作者简介：马峥，男，汉族，辽宁沈阳人，1986年1月生，东北大学工商管理学院学生，热衷于平面几何研究.
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