2013高等数学竞赛习题123.docVIP

习题（五） 练习5-1 1、选择题 (1)设函数在上连续，在内可导，且，则在开区间内 ( 　) (A)　至少存在一点，使得　　 (B)　任一点，总有 (C)　至少存在一点，使得　　(D)　任一点，总有 (2)函数在区间上满足拉格朗日中值定理的为 (　　) (A)　　　 　(B)　0　　 (C)　　　 (D)　1 *(3)设函数在上可导，，且，则方程在内 (　　) (A)　没有实根　　　　　　　　　　 (B)　有且仅有一个实根 (C)　有且仅有两个不同的实根　　　 (D)　至少有两个不同的实根 2、填空题 (1)函数在区间上满足罗尔定理的点　　　　　　 (2)设函数，则应用罗尔定理就可以说明方程有且仅有　 个实根，它们属于的区间为　　　　　　　　　　　　　　　　　　 *(3)设函数、、区间为，则在上满足拉格朗日中值定理即的　　　　　　；在上满足拉格朗日中值定理即的　　　　　　；、在上满足柯西中值定理即的　　　　　　 3、证明恒等式：当时，。 4、设函数在上连续，在内可导，且，，试证：在内存在，使得成立。 5、设函数在上可导，且，在内，试证：在内方程有且仅有一个实根。 *6、设函数在闭区间上二阶可导，，且，试证：。 练习5-2 1、选择题 (1)极限的值为 (　) (A)　2　　　 (B)　1　　 　(C)　0　　 (D)　不存在 (2)当时，是的(　　　) (A)高阶无穷小　 (B)低阶无穷小 　 (C)等价无穷小 (D)同阶但非等价无穷小 (3)已知函数在点连续，则为 (　　　) (A)　　　 (B)　　　 (C)　　 (D)　1 2、填空题 (1)　　　　　　 (2)当时，是的高阶无穷小，则　　　　、　　　　 (3)已知函数在点可导，则　　　　、　　　　 3、求下列极限 (1)，　　　　　　　　　(2)， 　 (3)，　　　　　　　　　(4)， 　 (5)，　　　　　　　　　(6)， 　 (7)，　　　　　　　(8)， 　 (9)，　　　　　　　　　　(10)， 　 *(11)，　　　　　　*(12)。 *4、求极限。 *5、设函数具有二阶导数，在的某去心邻域内，且，，试求极限。 练习5-3 1、选择题 　 (1)函数的极值点　 (　　　) 　 (A)　是函数的驻点　　　　　　　　 (B)　是函数导数不存在的点 (C)是函数的驻点或导数不存在的点 (D)不是函数的驻点也不是导数不存在的点 　 *(2)已知函数满足：，且(其中)，则(　　　) 　 (A)　不是函数的驻点 (B)　不是函数的极值点 　 (C)　是函数的极大值点　 (D)　是函数的极小值点 *(3)已知函数在的某一个邻域内可导，且，则　 (　　　) 　 (A)　不是函数的驻点　　 (B)　不是函数的极值点 　 (C)　是函数的极大值点　　 (D)　是函数的极小值点 2、填空题 　 (1)函数在区间　　　　是单调增加的。 　 (2)无论取任何实数，方程有且仅有　　　　个实根。 　 (3)已知函数在处取得极值，则　　　　 3、证明下列不等式： 　(1)当时， 　 (2)当时， 　 (3)当时， *(4)当时， 4、设在取得极值，且与相切于，求p、m、n的值。 5、求函数的单调区间和极值。 *6、已知函数在上具有二阶导数，且，试证：在内单调增加。 练习5-4 1、填空题 　 (1)函数在区间上的最大值为　　　　，最小值为　　　　。 　 (2)函数在区间上的最大值为　　　　，最小值为　　　　。 　 (3)函数在区间上的最小值为　　　　。 　 (4)函数在区间上的最大值为　　　　。 2、要设计一个容积为定值的圆柱形敞口容器，已知底面单位面积的造价是侧面单位面积的造价的一半，问容器的半径和高取何值时其用料最省。 3、在椭圆内嵌入边平行于坐标轴的矩形，求这些矩形中的面积最大值。 *4、将长为的铁丝切成两段，其中一段围成正方形，另一段围成圆形，为使正方形与圆形面积之和最小，问两段铁丝的长度各为多少？ *5、讨论方程有几个实根。(a0) 练习5-5 1、填空题 　 (1)求函数极值的牛顿法迭代公式为　　　　　　　　　　　　，其几何意义是为求函数的驻点，在曲线上过作切线　　　　与轴相交于点，因此牛顿法也称为牛顿切线法。 　 (2)黄金分割法也称为　　　　法，是求　　　　函数(即只有一个极值的函数)极值的一种缩短有哪些信誉好的足球投注网站区间的试探方法。 2、用黄金分割法求函数在区间上的极值点，要求精度为。 练