在平面上已知两相交圆O1和O2.docVIP

C1－011? 在平面上已知两相交圆O1和O2，点A为交点之一，有两动点M1和M2，从点A同时出发，分别以常速沿O1和O2同向运动，各绕行一周后恰好同时回到点A．证明：在平面上存在一定点P，P到点M1和M2的距离在每一时刻都相等． 【题说】? 第二十一届（1979年）国际数学奥林匹克题3．本题由原苏联提供． 【证】? 设O1和O2为已知圆的圆心，r1和r2分别为它们的半径．作线段O1O2的垂直平分线l及点A关于l的对称点P，则O1P=r2，O2P=r1（如图）．由已知，∠AO1M1=∠AO2M2，由对称性，∠AO1P=∠AO2P．于是，∠M1O1P=∠M2O2P．又因为O1M1=O2P=r1，O2M2=O1P=r2，故△O1M1P≌O2M2P，M1P=M2P． [别证] 可以用复数来作．以O1为原点，O1O2为实轴建立复平面． C1－012 二圆彼此外切于D，一直线切一圆于A，交另一圆于B、C两点．证明：A点到直线BD、CD的距离相等． 【题说】? 第十三届（1987年）全俄数学奥林匹克十年级题3． 【证】? 过切点D作二圆的公切线l，交AB于F．设E在CD的延长线上，则∠BDA=∠BDF+∠FDA=∠ACD+∠FAD=∠ADE，即DA平分∠BDE，所以，A到BD、CD的距离相等．? C1－013? 在“筝形”ABCD中，AB=AD，BC=CD．经AC、BD的交点O任作两条直线，分别交AD于 E，交BC于F，交AB于G，交CD于H．GF、EH分别交BD于I、J．求证：IO=OJ． 【题说】? 1990年全国冬令营选拔赛题3．本题宜用解析几何来证．本题是蝴蝶定理的一个推广． 【证】? 易证AC⊥BD．如图，以O为原点，BD为x轴，CA为y轴，建立直角坐标系． 设各点坐标为A（0，b），B（－a，0），C（0，c），D（a，0），EF的方程为y=kx，GH的方程为y=lx，则AD的方程是 EH的方程是 比较常数项与y的系数有 J的横坐标x满足 及 （1′）·l－（2′）·k得 利用（3）得 同样可得Ｉ的横坐标x应满足 （将（4）中的k与l互换，a换成－a）．由（4）、（5）立即看出I、J的横坐标互为相反数，即IO=OJ．? C1－014? 如图，设△ABC的外接圆O的半径为R，内心为I，∠B=60°，∠A＜∠C，∠A的外角平分线交⊙O于E．证明： （1）IO=AE； 【题说】? 1994年全国联赛二试题3． 【证】? （1）连AI，延交⊙O于F，则易知EF为⊙O直径． 过E作ED∥IO交AF于D，则IO是△FDE的中位线，从而IO＝ 因∠AOC=2∠ABC=120° 故A、O、I、C共圆．从而 （2）连CF，则???????????? ∠IFC=∠AFC=∠B=60° ???????????????????????????????? ∠ICF＝∠ICB+∠BCF 故IF=IC，又由（1）知IO=AE，从而 IO+IA+IC=EA+AI+IF =EA+AF≥EF=2R 令α=∠OAI，则（因∠A＜∠C） 又????????????????????????? AE+AF＝2Rsinα+2Rcosα 当α∈（0，45°）时，sin（45°+α）为增函数， 故????????????????????????????????????????? AE+AF＜2R（sin30°+cos30°） ???????????????????????????????????????????????????????? ? C1－015? 设△ABC是锐角三角形，在△ABC外分别作等腰Rt△BCD、△ABE、△CAF．在这三个三角形中，∠BDC、∠BAE、∠CFA是直角．又在四边形BCFE外作等腰Rt△EFG，∠EFG是直角．求证： （2）∠GAD=135°． 【题说】? 1994年上海市赛高三二试题2． 【证】? 以点A为原点建立直角坐标系，与B相应的复数记为ZB，等等． ? C1－016? 设M、N为三角形ABC的边BC上的两点，且满足BM=MN=NC．一平行AC的直线分别交AB、AM、AN于D，E和F，求证：EF=3DE． 【题说】? 1994年澳大利亚数学奥林匹克一试题1． 【证】? 如图，过N、M分别作AC的平行线交AB于H、G点．NH交AM于K点．则BG=GH=HA． HK∶KN=1∶3 又由于DF∥HN，于是 DE∶EF=HK∶KN=1∶3 故EF=3DE．? C1－017? ABCD是一个平行四边形，E是AB上的一点，F为CD上一点．AF交ED于G，EC交FB于H．连接G，H并延长交AD于L，交BC于M，求证： DL=BM 【题说】? 1994年澳大利亚数学奥林匹克二试题4． 【证】? 如图，过E、F分别作EK∥AD，FQ∥AD，则 所以