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在“解决问题”中培养学生的思维能力 ——我教“鸡兔同笼” 龚路中心小学　曹文辉 “鸡兔同笼”是一道好题，它出自《孙子算经》一书，请看这道古代趣题：今有雉兔同笼，上有一十五头，下有四十八足，问雉兔各几何？近20年来它出现在各种小学数学竞赛试卷及数学思维训练辅导书中。张奠宙教授谈到过：数学抽象性的第一个特点在于它研究的思想材料，“鸡兔同笼”就是古代数学中留存下来的宝贵的思想材料之一。 下面介绍我给低年级小学生讲这道我国古代趣题的情况。 “我们来画画吧！”为激趣 每当讲及此题，出于对于低年级的孩子的计算能力考虑，我把数据改小，加上儿童化的语言：有一只笼子，笼子中有鸡和兔，鸡和兔共有5只，腿共有14条，小朋友，你知道鸡有几只，兔有几只吗？听了我的问题，小朋友有的发呆（不理解题意）；有的苦思冥想（就是不知道如何着手解题）。“小朋友，你们喜欢画画吗？”一听到画画，大家精神都提了起来，“喜欢！”可是数学兴趣课和画画有什么关系呢？“我们来画画吧！”我边说，边在黑板上示范了起来。 先用“ ” 代表笼中的鸡或兔的身体，画出的鸡和兔的总数5只。 　 再给每个身体画出两条腿。 画到这里，孩子们也模仿到这里，有感觉的孩子就会提问：“老师，不是有鸡又有兔的吗？你怎么每个身体上都画两条腿呢？”“是呀，这样的话，我一共画了几条腿啦？”孩子们异口同声：“10条。”“老师真糊涂啊，那么比题目中已知的少了几条啊？”我边装糊涂边追问。 这时大部分小朋友说：“老师，我知道了，比已知14条腿少14-10=4条腿。只要再画4条腿就可以了。” “好，说得真棒，那接下来的4条腿，你们会画了吗，画在哪里？”我随时注意捕捉孩子们产生的“顿悟”，鼓励他，追问他，从而可得到好的教学效果，千万不要与“瞎猜”混淆起来。 孩子们信心十足得开始画画尝试了，我俯下身去倾听：比已知14条腿少14-10=4条腿，给一个身体添上2条腿就可以了。 最后得到笼中有2只兔和3只鸡。 数学活动课中，老师的一句“我们来画画吧！”激发了孩子们的兴趣，诱发了孩子们主动参与，积极“想试”。由于儿童的尝试画画活动是兴趣和需要所支配，激发和培养了孩子学习数学兴趣是活跃思维的前提。孩子在老师的激发和不断的追问下，通过图形法巧解出“鸡兔同笼”题。波利亚在《怎样解题》中写道：“图形不仅是几何题目的对象，而且对任何一开始跟几何没什么关系的题目，图形也是一个重要的帮手。”它把自然语言（属符号系统）所表述的内容（信息）转换成看得见、摸得着的形象化的具体图形，从而有利于思维的操作。通过画画，孩子们顿悟的闪现，象征着某些真正的新事物、个人的新理解。 中年级：枚举法（请算图帮忙） 42请看这道古代趣题：今有雉兔同笼，上有一十五头，下有四十八足，问雉兔各几何？ 4 2 ×× × × ＋ ＋ 48 48 结合树状算图，如果这里填0，那么那里就要填几？如果这里填1，那里就要填几？……看来这里我们需要尝试！为了体现思考的有序性，我们经常采用列表进行枚举。请同学们借助树状算图完成表单，若有困难可请教老师、学习伙伴。 鸡的只数 兔的只数 总脚数 相差数 1 15 0 15×2=30 48-30=18 2 14 1 14×2+1×4=32 48-32=16 3 13 2 13×2+2×4=34 48-34=14 …… 下面请同学来汇报，你是如何填写的？其他同学边倾听边仔细观察这些表单，你还发现了什么？ （1）鸡的只数减少一只，兔的只数就会增加一只，总脚数就会增加2只。 (2)我发现相差数每一次改变减少2只，那么相差数为0时，就是本题的解。所以我只要列出（ ）×２+（　）×４＝４８只要平衡算式就可以了。 (３)我找到规律了，相差数是：１８，１６，１４，．．．０；那么兔子就是０，１，２，．．．９。我知道填写２列数据就可以了，兔子是９只，那么鸡就是１５－９＝６只。 ．．．．．． 刚才我们通过列表枚举，并借助树状算图解决了问题。 四年级：数量关系推理 到四年级第二学期国本教材中出现问题解决（即“鸡兔同笼”），我就要用假设法来进行数量关系的推理。张奠宙在《中国数学双基教学》中说，“变式教学是促进有效的数学学习的中国方式。”波利亚也早就说过：“你当然知道，教师讲解一个问题，不能光讲一遍或两遍，而往往要讲三遍、四遍甚者多遍．．．．．．开始时用最简单的形式讲你的东西，然后略加变化地重复它，然后又增加一点新的色彩再次重复它，等等。” 例1 笼中有若干只鸡和兔，它们共有１００个头和２８８只脚，问鸡兔各有多少只？ 　　早在1500多年前，我们的祖先就创造了“假设法”解决生活中的问题。用假设法解决问题，对拓宽解题思路、发展数学思维能力有很大的促进作用。所谓假设法，就是在解题时根据题中原有的条件或结论作出某种假设，用来往回推算，必然出现与已有条件发生矛盾，再将