圆锥曲线面面观.docVIP

圆锥曲线面面观 圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学高考的重点内容.它体现了解析几何数与形的相互转化，展示了解析几何在计算方法上的特点和技巧，表现出辩证思维的丰富内涵. 高考中，有关圆锥曲线的试题约占全卷总分的15%.一般有两道题，其中一道为选择题或填空题，一道为解答题，这部分试题重在考查圆锥曲线中的基本知识和基本方法，有时也有一定的综合性和灵活性，以圆锥曲线中有关的知识和方法为主，结合解析几何中其它部分的知识，如平面向量、函数、不等式、数列和三角函数等有关的知识和方法的综合问题逐渐成为高考命题人“心仪”的对象. （一）定义、标准方程 圆锥曲线的定义与标准方程反映了它们的基本特征，理解定义、认识方程是掌握其性质的基础；借助第一定义可以确定圆锥曲线的类型，利用第二定义可以处理一类焦半径问题； 例1：（1）（2010江西）点在双曲线的右支上，若点A到右焦点的距离等于，则 （2）（2010天津）已知双曲线的一条渐近线方程是,它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ） （A）（B） （C） （D） 分析：问题1利用双曲线第二定义刻画“焦半径”，再简单计算问题便可求解；问题2求双曲线方程只需分别求出，根据已知条件列出间的等式关系，再加上双曲线中问题可求解 解答：（1）由已知条件可得：离心力，设右支上的点到右焦点的距离，到右准线距离为，则根据双曲线的第二定义，有 ，即 （2）依题意知，所以双曲线的方程为 点评：高考对圆锥曲线定义和标准方程的考查主要有：（1）利用第一定义确定曲线类型，利用第二定义刻画焦半径（椭圆上一点到焦点的距离）；（2）求圆锥曲线的标准方程；属简单题，重在考查对基础知识的理解. （二）几何性质 圆锥曲线的几何性质主要从：范围、顶点、焦点、准线、渐近线、离心率等来考查， 解决问题的关键是：弄清圆锥曲线中各几何元素的意义、位置关系、数量关系，特别是其中五个主要参数（为焦点到相应准线的距离即焦准距） 例2（1）（2010北京）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 （2）（2010辽宁）设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ） （A） （B） （C） （D） 分析：求圆锥曲线的焦点、渐近线、离心率等主要是寻找几何量之间的等式关系 解答：（1）在椭圆中，，所以，椭圆的焦点为，即双曲线的焦点坐标为；在双曲线中，，，所以，，从而双曲线的渐近线方程为，即 （2）不妨设双曲线的焦点在轴上，设其方程为：，则一个焦点为，，一条渐近线斜率为，直线的斜率为； ，解得；所以选D 点评：圆锥曲线的几何性质问题主要是抓住定义、几何量关系来解.求离心率的值或范围的题型，则主要寻找之间的等式、不等式关系. （三）直线与圆锥曲线 直线与圆锥曲线的位置关系有三种：相离、相交和相切；从代数角度看直线的方程与圆锥曲线的方程构成的方程组；解决过程中，常用的数学思想方法有①方程的思想；②数形结合思想；③设而不求与整体代入的技巧与方法 例3（2010上海）已知椭圆的方程为，、和为的三个顶点；设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点； 分析：对于“直线交于”、“直线交于点”等相交条件，自然想到联立方程组；消元后借助韦达定理来描述两点的坐标关系，而并非分别求出两交点坐标； 证明：由方程组，消去得 因为直线交椭圆于、两点，所以，即，设，的中点坐标为 则，由方程组，消得方程，又因为，所以，故为的中点. 点评：直线与圆锥曲线的位置关系主要由联立方程组后方程的根进行判断，二次方程判别式及根与系数的关系是解决此类问题最好的方法.此类问题的解决过程体现了函数与方程思想的灵活应用. （四）圆锥曲线与向量 由于平面向量具有代数（坐标）表示和几何表示的特点，这就使其成为表述圆锥曲线问题的重要载体.问题往往以圆锥曲线为主线，融向量、函数、方程、不等式、数列等知识于一体，具有知识点多、覆盖面广、综合性强的特点，重在考查考生的思维水平和综合能力 例4（2010全国卷2）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则 （A）1 （B） （C） （D）2 分析：将向量关系转化为点横坐标或纵坐标之间的关系，转化为代数问题求解 解答：设（1）， ，设，（2） 设直线方程为，代入（2）式消去得 结合（1）式，有 ，解得，因为，从而，选D 点评：圆锥曲线与向量的综合，主要的解题方法是将向量转化为对应点的横坐标、纵坐标之间的关系，借助于代数运算方法来处理；解题过程体现了数与形的结合、数与形的转化思想. （五）范