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PAGE PAGE 3 圆锥曲线图像不变性的探究 奋斗中学 王德固 通过对圆锥曲线图像的深入探究，研究结果表明：无论怎样移轴，圆锥曲线的顶点、焦点、（中心）、准线之间的相对位置以及相对距离都不会改变，我们把这种性质统称为圆锥曲线图像的不变性. 在处理与圆锥曲线的顶点、焦点等有关的问题时，灵活运用图像的不变性，并结合圆锥曲线的定义或第二定义，不仅优化了该类问题的求解思路，而且培养了学生思维的深刻性、广阔性. 一、求参数的取值范围 例1 若抛物线的准线位于双曲线的两条准线之间，求m的取值范围. 分析 正确把握抛物线图像的不变性：顶点与其准线间的距离，是解决本题的关键. 解 由 得 ， ∴抛物线的顶点坐标（4,1）. 由于抛物线的准线位于双曲线=1的两条准线和之间，且抛物线的顶点与准线间的距离为. ∴1≤≤7即2≤≤14， 又， ∴4≤≤28. 二、求轨迹方程 例2 给定抛物线，若其焦点F与准线L分别是椭圆的一个焦点和一条准线，求此椭圆短轴端点B的轨迹方程。 分析 正确把握椭圆图像的不变性：顶点、焦点、中心、准线之间的距离，是解决本题的关键. 解 由题意可知，抛物线的焦点F(0，0)，准线L：. ∴直线L只能是椭圆的左准线，F可能是椭圆的右焦点，也可能是左焦点. 1）当F为椭圆的右焦点时， 设B(,y)，则 由⑴、⑵、⑶、⑷消去、、得， 即：， ∴ 点B的轨迹方程为： . 2）当F为椭圆的左焦点时，点B的轨迹方程为：(＞0)（具体过程略）. 三、求最值 例3 求以直线为准线，离心率为，恒过定点M(1,0)的椭圆长轴的最值. 分析 正确把握椭圆图像的不变性：焦点与准线间的距离是解决本题的关键. 解 显然直线为椭圆的左准线. 设左焦点F(,)，又椭圆恒过定点，由椭圆第二定义知： ， 即 ⑴ 又以及 ∴. 由⑴知：当时，； 当时，. 当然，圆锥曲线图像的不变性应用远不止这些，在此不再赘述.妙用圆锥曲线图像的不变性，给解题带来很大方便，对培养学生的创造性思维和发散性思维都大有裨益，故应多加重视.也是对未高考的一种挑战，使学生能在解答圆锥曲线的问题上有所改观，从而提高高考成绩；这也是我们广大师生的共同心声. 我愿与各位老师共同探讨关于高考的其它题型。 圆锥曲线图像不变性的探究 奋斗中学数学组 王德固 2007年3月16日