图形的全等和平行四边形(一).docVIP

PAGE PAGE 4 第一讲 图形的全等和平行四边形（一） 一、知识点和方法概述 （一）全等图形 定义：能够完全重合的两个图形是全等图形(congruent figures)。 几点说明： 1）能够完全重合的图形一定是形状相同、大小一样的图形。 2）全等图形中的任何一个图形都能通过旋转、翻折、平移等几何变换而与另一个图形重合。图形的翻折、旋转、平移是图形的三种基本运动. （二）全等多边形 1、定义：能够完全重合的两个多边形称为全等多边形。 反过来，如果两个多边形全等，那么其中一个多边形可以通过平移、旋转、翻折等一些全等变换，使它与另一个多边形完全重合。 2、全等多边形中的对应元素： 对应顶点：两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点。 对应边：相互重合的边叫做对应边。 对应角：相互重合的角叫做对应角。 说明：“对应”在数学里是个不定义的原始概念。在全等多边形中，我们把互相重合的边或角叫做对应边或对应角。 3、全等多边形的表示方法： 如图，这两个全等的四边形可以表示成：四边形ABCD≌四边形EFCH. 4、全等多边形的识别方法： ① 定义：能够完全重合的两个多边形称为全等多边形。 ② 对应边相等，对应角也相等的多边形是全等多边形。（注：这是一个更为细化，具有可操作性的定义）。 5、全等多边形的性质： 全等多边形的对应边相等，对应角相等。 （三）全等三角形 1、定义： ① 能够完全重合的两个三角形称为全等三角形. ② 对应边、对应角分别相等的两个三角形是全等三角形. ③ 相似比为1的三角形是全等三角形. 2、图形形式： （1）平移全等形 （2）对称全等形 （3）旋转全等形 （4）以上类型的复合型 3、全等三角形的性质定理： 全等三角形中的对应边相等，对应角也相等。 4、全等三角形的判定定理： （1）边边边公理：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为（S.S.S.）. 已知：如图， 求证：≌ (2) 边角边公理：如果两个三角形的两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为（S.A.S.）. 已知： 求证：≌ (3) 角边角公理：如果两个三角形的两角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为（A.S.A.）. 已知： 求证：≌ (4) 角角边定理：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为（A.A.S.）. 已知：如图， 求证：≌ 说明：角角边定理是角边角公理的推论. !!!特别提醒：没有角边边公理或定理。 在角边边的情况下，如果两个三角形的类型相同（同为锐角三角形或同为钝角三角形或直接三角形）时才全等. 如图：≌，但 与不全等. (5) 斜边、直角边公理：如果两个直角三角形的斜边和直角边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为（H.L.）. 已知：如图，在和， 求证：≌ 5、综合运用全等三角形的各种判定方法时的注意事项 (1) 在证明两个三角形全等时，应先找“边”，再找“角”. (2) 在直角三角形中，H.L.和其他的判定三角形全等的方法都适用. (3) 当提供的边与角能唯一确定一个三角形时，就能成为全等的判定方法。换言之，若知道S.S.S.，S.A.S.，A.S.A.，A.A.S.，H.L.，则可唯一确定一个三角形（大小、形状均唯一确定）. 6、寻找全等三角形对应边、对应角的规律 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边常是对应边； （4）有公共角的，公共角常是对应角； （5）有对顶角的，对顶角常是对应角； （6）两个全等的不等边三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小角）是对应边（或对应角）。 要想正确表示两个三角形全等，找出对应元素是关键。 （四）平行四边形 1、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形用符号“”表示，平行四边形ABCD记作ABCD. 2、平行四边形性质定理： 平行四边形性质定理1：平行四边形的对角相等。 已知：四边形ABCD是平行四边形 求证： 平行四边形性质定理2：平行四边形的对边相等。 已知：四边形ABCD是平行四边形 求证：AB=CD，AD=BC 推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。 平行线之间的距离(两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离)处处相等. 平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分。 已知：四边形ABCD是平行四边形 求证：AO=OC，BO=OD