充分发挥《几何画板》软件在解题后反思的作用.docVIP

PAGE PAGE \* MERGEFORMAT - 5 - 充分发挥《几何画板》软件在解题后反思的作用 ——2011年福建省质检（文）第22题反思探究案例 福建晋江养正中学 邮编362261 潘颖艺 摘要　本文以2011年福建省数学科质检（文）第22题为例，基于《几何画板》软件的环境下，通过对其解题后的反思和探究，不但发现了考题的一个几何解法，两个推广，而且发现了考题的一个几何背景——抛物线的光学性质。总之，数学教师平时应充分发挥《几何画板》软件在解题后反思的作用，这将给我们探索和发现新问题时，深化了对数学知识本质的认识，进一步发展思维和提升能力，促进数学教师专业更快地成长。让我们在反思中学会解题，在做数学实验中深化解题教学。 关键词　几何画板　反思　猜想　证明　推广　 正文 我们知道，《几何画板》软件画出的图形保持着设定的几何关系不变，动态地演示出几何元素的位置关系、运行变化规律，为学习者提供了一种探索和发现几何图形内在关系的平台。本文以2011年福建省数学科质检（文）第22题为例，基于《几何画板》软件的环境下，通过对其解题后的反思，不但发现了考题的一个几何解法，两个推广，而且发现了考题的一个几何背景——抛物线的光学性质。 [考题] 己知抛物线C：上的一点到其焦点F的距离为3。 （Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过坐标平面上的点F’作抛物线C的两条切线和分别交轴于A,B两点。 （ⅰ）若点F’的坐标为，如图，求证：的外接圆过点F； （ⅱ）试探究：若改变点F’的位置，或抛物线的开口大小，（ⅰ）中的结论是否仍然成立？由此给出一个使（ⅰ）中的结论成立的命题，并加以证明。 由（ⅰ）可得：四边形AFBF’是正方形（如图１）。 （ⅱ）解答如下：命题：设F’为抛物线外一点，若过点F’作抛物线的两条切线和，分别交轴于A,B两点，则的外接圆过此抛物线的焦点F。 证明：设和分别切抛物线于，，则，。 因为，故和的方程分别为和 由得， 由得， 由得， 因为，所以，， 所以，所以AF⊥AF’ 所以点A,B在以FF’为直径的圆上，所以的外接圆过点F。 上述解答体现了解析几何的基本思想，即用代数方法解决几何问题，属通性通法。 G?波利亚说：“两个证明要比一个好。抛两个锚停泊更安全。”我们能以不同的方式推导这个结果吗？ 现在利用《几何画板》软件动手做一个数学实验。拖动点F’或F，观察表格中的数据变化及图形，发现：随着点F’位置的变动，或点F在y轴正半轴上移动（改变抛物线的开口大小），通过度量角的大小得：∠FAF’=∠FBF’=90o在图形变化过程中始终保持不变。（如图2、图3）　 　 这时，我们大胆猜测：本题可能还可用几何法求解？ 几何背景（抛物线的光学性质）：从抛物线的焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴。 严格证明（几何法）：如图4，作出抛物线的准线，设直线与抛物线相切于点P，过点P作准线的垂线，垂足为P’，由抛物线定义知：PP’=PF。 连接F’P，交x轴于点A， 可证点A是FP’的中点（由三角形中位线性质可得） 因为直线是抛物线C的一条切线， 所以由抛物线的光学性质知：直线是∠FPP’的内角平分线，则直线必过点A，故FA⊥F’A 同理可得：FB⊥F’B。 根据以上的解答，我们可以利用《几何画板》软件进一步动手操作，验证以上结论正确性。同时，变化题目，若将条件中“交点A,B在x轴上”改为“点A,B始终在过抛物线的顶点且与准线平行的直线上”，（ⅰ）中的结论还成立吗？于是，有一个猜想产生了，得到如下: 推广１　过坐标平面上点F’作任一抛物线C的两条切线和，分别交过抛物线顶点且与准线平行的直线于A,B两点，能否推出：的外接圆过点F？ 现在，继续利用《几何画板》软件进行探究，图4去掉平面直角坐标系后，拖动点F（改变抛物线C的开口大小或方向），或拖动点F（改变它的位置），观察发现：∠FAF’=∠FBF’=90o，推广1中的结论是成立的。如图5。 那么，如何证明推广1结论是正确的呢？ 事实上，我们可以用解析法来求解，只要以过抛物线顶点为坐标原点，过顶点且与准线平行的直线为x轴，抛物线的轴为y轴建立平面直角坐标系，再利用考题的证法即可。 现在，再次变化题目，交换题目的条件和结论，我们可得到以下正确命题：己知抛物线C外一点F’， 设焦点为点F，若点A,B在过抛物线顶点且与准线平行的直线上，且都在以FF’为直径的圆上，则直线F’A,F’B为该抛物线的切线。以上命题给我们提供了一种抛物线的切线尺规作图的新方法。 结合考题，回顾以上的尝试，再次利用《几何画板》软件动手实践，重新斟酌、审查结果及导致结果的途径，我们又挖掘出一个新的数学结论。 引理（2008年山东高考理科数学卷第22题） 己知抛物线C：，若点F’是直线上任意一点，过