等比数列求和公式.docVIP

等比数列：是一种特殊数列。它的特点是：从第2项起，每一项与前一项的比都是一个常数。 例如数列。 这就是一个等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，都等于2，2198与2197的比也等于2。如2这样后一项与前一项的比称公比，符号为q。 公比公式 根据等比数列的定义可得： [编辑]通项公式 可以任意定义一个等比数列 这个等比数列从第一项起分别是，公比为q，则有： a2?=?a1q， a3?=?a2q?=?a1q2， a4?=?a3q?=?a1q3， ， 以此类推可得，等比数列的通项公式为： an?=?an?? 1q?=?a1qn?? 1， [编辑]求和公式 对上所定义的等比数列，即数列。将所有项累加。 于是把称为等比数列的和。记为： 如果该等比数列的公比为q，则有： （利用等比数列通项公式）?(1) 先将两边同乘以公比q，有： 该式减去(1)式，有： (q?? 1)Sn?=?a1qn???a1?(2) 然后进行一定的讨论 当时， 而当q?= 1时，由(2)式无法解得通项公式。 但可以发现，此时： =?na1 综上所述，等比数列的求和公式为： 经过推导，可以得到另一个求和公式：当q≠1时 [编辑]当时,等比数列无限项之和 由于当及?n?的值不断增加时,qn的值便会不断减少而且趋于0,因此无限项之和: 性质 如果数列是等比数列，那么有以下几个性质： 证明：当时， 对于，若，则 证明： ∴ 等比中项：在等比数列中，从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。即等比数列中有三项，，，其中，则有 在原等比数列中，每隔k项取出一项，按原来顺序排列，所得的新数列仍为等比数列。 也成等比数列。