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沈阳化工大学常微分方程教案1_1微分方程解
沈阳化工学院 第一章 初等积分法 微分方程和解 一、微分方程定义 、代数方程(超越方程):方程的未知量是数 、函数方程:方程的未知量是函数 、积分方程:函数方程中含有对未知函数的积分运算或在积分号下有 未知函数 、微分方程:函数方程中含有对未知函数的微分求导运算 例物体下落问题 设质量为m 的物体,在时间t 时,在距离地面高度为H 处以初速 度v v 垂直地面下落,求此物体下落时距离与时间的关系。 解 设x xt 为t 时刻的下落坐标,于是下落速度为 dx v dt 加速度为 d x a dt 空气阻力取为与速度成正比,由牛顿定律F ma 得方程 mx kx mg 其中 k 为阻尼系数,当k 时,有 d x dt g 积分两次,得 xt gt C t C 其中 C , C 是两个独立的任意常数。 通讯作者:席伟 沈阳化工学院 例:牛顿冷却定律:物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度 ◦ 之差成正比,已知空气温度为 C ,求物体温度与时间的函数关系。 解:设物体温度为T T t,由已知有, dT kT dt 其中k 为比例系数,解得 T Ce− 其中C 为任意常数 定义 (微分方程)微分方程是联系自变量、未知函数及未知函数导 数的等式,其中未知函数为一元函数,则称为常微分方程,未知函数为多 元函数,称为偏微分方程。 dy dy √ y ′′ ′ x x x yy y dx dx x 、微分方程的阶:未知函数的最高阶数 ′ 、隐式方程:F x, y, y , , y ′ − 、显示方程:y f x, y, y , , y
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