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浅谈厄米算符

浅谈厄米算符 彭金波 (华中师范大学 物理科学与技术学院, 武汉 430079) 摘 要:量子力学中,可以观测的物理量要用厄米算符来表示。算符的厄米性不仅对算 符有了很大的限制,而且对波函数也有一些限制。文章将首先介绍一下厄米算符的定义、性 质以及与经典的对应,接着重点探讨一下算符的厄米性对波函数的限制。 关键词:算符;厄米性;物理量;波函数 1 引言 量子力学中的力学量用算符来表示,而实验上的可观测的物理量用厄米算符来表示。因此,要弄清物 理量的特点,研究厄米算符的性质就显得尤为重要。此外,在很多量子力学教材中,算符的厄米性通常被 认为主要是对算符的限制[1],而很少关注或说明算符的厄米性对波函数的限制,甚至有很多不准确的表述 (后文将细述)。其实,为了保证算符的厄米性,常常要求波函数满足一定的条件。 2 厄米算符的定义及性质 ∧ 若算符 F 满足 ∧ ∧ ∫ψ F ϕdτ ϕ(F ψ ) dτ∗ ∫ ∗ (1) ∧ ∧ † 或者 F F ∧ 其中ϕ、ψ 是任意波函数,则称算符 F 为厄米算符。 厄米算符具有一些重要的性质: (1)在任何状态下,厄米算符的本征值必为实数;(2)在任何状态下平均值为实数的算符必为厄米算符; (3)厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交;(4)厄米算符的本征函数具有完备性。 3 量子力学中力学量用厄米算符来描述 量子体系中的可观测量(力学量)用线性厄米算符来描述是量子力学的一个基本假设,其正确性应该 由实验来判定。“量子体系中的力学量用相应的线性厄米算符来描述”具有多方面的含义: 其一,算符的线性是状态叠加原理所要求的; 其二,实验上的可观测的力学量总是实数,力学量相应的算符必须是厄米算符;实际上,这种要求是 有些过分了,即使某个力学量的算符不是厄米算符,只要它的本征值是实数即可,但是这样做的结果会使 [2] 本征矢变成超完备的,以致不便于使用 。 其三,量子力学里测量值通常不是唯一确定的值,而是具有一定概率分布的一系列的值,这些测量值 的平均值可用 ∧ F ψ Fψdτ∗ ∫ ψ ( 已经归一化)来表示; 其四,力学量之间的关系也可通过相应算符之间的关系(如对易关系)来反映出来。基于以上三点, 量子力学中的力学量用厄米算符来描述。 4 厄米算符与经典的对应 我们知道算符的性质可用矩阵来表示,那么厄米算符对应怎样的矩阵呢?从厄米算符是定义出发: ∧ ∧ † F F ∧ † ∧ 而 F 即先取复共轭再转置。故算符F 取复共轭再转置若等于本身则为厄米算符。对应地,某矩阵的各矩 阵元取复共轭再转置若等于本身则为厄米算符对应的矩阵——厄米矩阵。它是实空间中对称矩阵(矩阵元 ∗

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