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浅谈厄米算符
浅谈厄米算符
彭金波
(华中师范大学 物理科学与技术学院, 武汉 430079)
摘 要:量子力学中,可以观测的物理量要用厄米算符来表示。算符的厄米性不仅对算
符有了很大的限制,而且对波函数也有一些限制。文章将首先介绍一下厄米算符的定义、性
质以及与经典的对应,接着重点探讨一下算符的厄米性对波函数的限制。
关键词:算符;厄米性;物理量;波函数
1 引言
量子力学中的力学量用算符来表示,而实验上的可观测的物理量用厄米算符来表示。因此,要弄清物
理量的特点,研究厄米算符的性质就显得尤为重要。此外,在很多量子力学教材中,算符的厄米性通常被
认为主要是对算符的限制[1],而很少关注或说明算符的厄米性对波函数的限制,甚至有很多不准确的表述
(后文将细述)。其实,为了保证算符的厄米性,常常要求波函数满足一定的条件。
2 厄米算符的定义及性质
∧
若算符 F 满足
∧ ∧
∫ψ F ϕdτ ϕ(F ψ ) dτ∗ ∫ ∗ (1)
∧ ∧ †
或者 F F
∧
其中ϕ、ψ 是任意波函数,则称算符 F 为厄米算符。
厄米算符具有一些重要的性质:
(1)在任何状态下,厄米算符的本征值必为实数;(2)在任何状态下平均值为实数的算符必为厄米算符;
(3)厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交;(4)厄米算符的本征函数具有完备性。
3 量子力学中力学量用厄米算符来描述
量子体系中的可观测量(力学量)用线性厄米算符来描述是量子力学的一个基本假设,其正确性应该
由实验来判定。“量子体系中的力学量用相应的线性厄米算符来描述”具有多方面的含义:
其一,算符的线性是状态叠加原理所要求的;
其二,实验上的可观测的力学量总是实数,力学量相应的算符必须是厄米算符;实际上,这种要求是
有些过分了,即使某个力学量的算符不是厄米算符,只要它的本征值是实数即可,但是这样做的结果会使
[2]
本征矢变成超完备的,以致不便于使用 。
其三,量子力学里测量值通常不是唯一确定的值,而是具有一定概率分布的一系列的值,这些测量值
的平均值可用
∧
F ψ Fψdτ∗
∫
ψ
( 已经归一化)来表示;
其四,力学量之间的关系也可通过相应算符之间的关系(如对易关系)来反映出来。基于以上三点,
量子力学中的力学量用厄米算符来描述。
4 厄米算符与经典的对应
我们知道算符的性质可用矩阵来表示,那么厄米算符对应怎样的矩阵呢?从厄米算符是定义出发:
∧ ∧ †
F F
∧ † ∧
而 F 即先取复共轭再转置。故算符F 取复共轭再转置若等于本身则为厄米算符。对应地,某矩阵的各矩
阵元取复共轭再转置若等于本身则为厄米算符对应的矩阵——厄米矩阵。它是实空间中对称矩阵(矩阵元
∗
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