数值分析 清华李庆杨第五版HEMIT插值(课外).pptVIP

一.问题描述 二.定义 三.定理 四.构造函数 五.例题 六.一般插值 假设函数y=f(x)是 在[a,b]上有一定光滑性的函数,在xo…xn上有n+1个异点,f(x)在这些点上取值yo…...yn.求一个确定的函数p(x)在上面n+1个点上满足p(xi)=yi i=0,1,…,n.这是最简单的插值问题,如果除了知道f(x)在插值基点上的取值外,还知道f(x)在插值基点上的其他描述(如知道f(x)在插值基点上的导数值)。如何来构造插值函数呢? Hermite插值也叫带指定微商值的插值,它要构造一个插值函数,不但在给定节点上取函数值,而且取已知微商值，使插值函数和被插函数的密和程度更好 。 主页 下一页 f(x) 在区间[ a, b] 上 n+1个互异节点a=x0x1x2……xn=b , 定义在[a,b]上函数f(x) 在节点上满足 f(xi) = yi f’(xi)=y i i=0,1,2……n 求一个次数不高于2n+1次的插值多项式H(x)满足2n+2个条件 H(xi) = yi H (xi)= y i i=0,1,2……n 若H(x)存在,则叫函数f(x) 的Hermite插值多项式.因为 H(x)是一个次数不高于2n+1次的多项式,常记为H2n+1(x). 上一页 主页 下一页 定理一:满足插值条件 H(xi)= yi H(xi)= yi i=0,1,2……n 且次数不大于2n+1的多项式是唯一的。 证明:令p(x)和q(x)是两个次数不高于2n+1的多项式且 在插值基点都满足以上插值条件 ,即: p(xi)=q(xi)=yi , p(xi)=q(xi)=y i , i=0,1,2……n 令 F(x)=p(x)-q(x),有F(xi)=0 ,F(xi)=0, i=0,1,2,.....n 故F(x)有2n+2个根. 由于p(x),q(x)都是次数不高于2n+1的多项式,由代数基本定理知F(x )=p(x)-q(x)?0,所以有 p(x) ? q(x) ,多项式唯一. 上一页 主页 下一页 定理二 :f(x)在区间[a,b]存在2n+2阶导数,则其Hermite插值余项为: ?(x)=(x-x0)(x-x1)…...(x-xn) 证明:(证明类似Lagrange余项) 当x=xi,i=0,1,2……时,左右两端为0,公式成立. 令x?xi, x? [a,b], 在节点x0,x1,……xn上 f(xi)=H(xi) 所以 R(xi)=f(xi)-H(xi)=0 f (xi)=H (xi) R (xi)=f (xi)-H (xi)=0, 所以 xi (i=0,1……n)为R(x)的二重零点， 上一页 主页 下一页 对插值区间[a,b]中任一定点x，可设 R(x)=f(x)-H2n+1(x)= k(x) [?(x)]2 k(x)为待定函数。做辅助函数 F(z)= f(z)- H2n+1(z) - k(x) [?(z)]2 F(x)=0,所以z=x是F(z)的一个零点，此外x0……xn都是F(z)的二重零点， F(z)在[a,b]上有2n+3个零点,由洛尔定理，知插值区间[a,b]中存在一个? ? [a,b]使F(2n+2)(?)=0。注意[?(z)]2是首项系数为1的2n+2次多项式, H2n+1(z)是2n+1次多项式，故有 0= F(2n+2)(?)= f(2n+2)(?)- 0 -(2n+2)!k(x), 所以公式成立。 上一页