微分几何第四章主曲率主方向.pdfVIP

Weingarten 映射和主曲率 设S : r r (u,v ) 是一个正则曲面，n n(u, v) 是 它的单位法向量. 向量函数n(u, v) 定义了一个 n : S2 : (u,v ) n (u,v ) n 映射 ，映射 诱导了映射 g n r 1 : S S 2 :r (u ,v ) g (r (u ,v )) n (u ,v ) . 这个映射g : S S 2 称为Gauss 映射. S 2 注意Gauss 映射的象不一定是 的一个区域. 2 g g :T S T S Gauss 映射 的切映射  p g (p ) 是一个线性 映射，满足g (dr ) dn ，即  g (r du r du ) n du n dv ，dr T S ，p S .(3.2)  u v u v p 特别有 g (r ) n ，g (r ) n . (3.4)  u u  v v n(u, v) T S2 S p (u ,v ) 因为 同时也是 g ( p ) 的法向量， 在 S 2 g (p ) 点的切平面与 在 点的切平面是平行的，从而在 T S2 T S 自由向量的意义下可将 与 等同. g ( p ) p 定义 线性映射W g : T S T S T S2 称为曲  p p g (p ) S p 面 在 点的 Weingarten 变换(Weingarten transformation). W( dr) W( r du r dv) dn ( n du n dv) T S ， u v u v p dr T S p . 定理3.1 II W( dr) dr . 定理 3.2 相对于切空间的内积， Weingarten 变换W : T S T S 是自共轭(对称) 的， p p 即 W( dr) r dr W(r) dr ,r T S ， p .