正余弦定理练习题(教师讲义打印一份).docVIP

正弦定理 正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即　　== =2R（R为△ABC外接圆半径） 1．直角三角形中：sinA= ，sinB=， sinC=1 即　　c=， c= ， c=． ∴== 2．斜三角形中 证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中 S△ABC= 两边同除以即得：== 证明二：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴ 同理 =2R，＝2R 证明三：（向量法） 过A作单位向量垂直于 由　+= 两边同乘以单位向量 得 ?(+)=? 则?+?=? ∴||?||cos90(+||?||cos(90((C)=||?||cos(90((A) ∴ ∴= 同理，若过C作垂直于得： = ∴== 正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角； 2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示）已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况: ⑴若A为锐角时: ⑵若A为直角或钝角时: 三、讲解范例： 例1 已知在 解： ∴ 由得 由得 例2 在 解：∵ ∴ 例3 解： ， 例4 已知△ABC，BＤ为B的平分线，求证：AB∶BC＝AＤ∶ＤC 分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B的平分线BD将△ABC分成了两个三角形：△ABD与△CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB∶AD＝BC∶DC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论 证明：在△ABD内，利用正弦定理得： 在△BCD内，利用正弦定理得： ∵BD是B的平分线 ∴∠ABD＝∠DBC ∴sinABD＝sinDBC ∵∠ADB＋∠BDC＝180° ∴sinADB＝sin（180°－∠BDC）＝sinBDC ∴ ∴ 评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用 正弦定理测试题 1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于(　　) A.　　　　　　B. C. D．2 解析：选A.应用正弦定理得：＝，求得b＝＝. 2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于(　　) A．4 B．4 C．4 D. 解析：选C.A＝45°，由正弦定理得b＝＝4. 3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝4，b＝4，则角B为(　　) A．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对 解析：选C.由正弦定理＝得：sinB＝＝，又∵ab，∴B60°，∴B＝45°. 4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于(　　) A．1∶5∶6　　　　　　　　 B．6∶5∶1 C．6∶1∶5 D．不确定 解析：选A.由正弦定理知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6. ．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝，则c＝(　　) A．1 B. C．2 D. 解析：选A.C＝180°－105°－45°＝30°，由＝得c＝＝1. ．在△ABC中，若＝，则△ABC是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 解析：选D.∵＝，∴＝， sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B 即2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝. 7．已知△ABC中，AB＝，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为(　　) A. B. C.或 D.或 解析：选D.＝，求出sinC＝，∵AB＞AC， ∴∠C有两解，即∠C＝60°或120°，∴∠A＝90°或30°. 再由S△ABC＝AB·ACsinA可求面积． ．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝，b＝，B＝120°，则a等于(　　) A. B．2 C. D. 解析：选D.由正弦定理得＝， ∴sinC＝. 又∵C为锐角，则C＝30°，∴A＝30°， △ABC为等腰三角形，a＝c＝. ．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝，C＝，则A＝________. 解析：由正弦定理得：＝， 所以sinA＝＝. 又∵a＜c，∴A＜C＝，∴A＝. 答案： ．在△ABC中，已知a＝，b＝4，A＝30°，则