正弦定理和余弦定理的应用举例(解析版).doc

正弦定理和余弦定理的应用举例 考点梳理 1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图)． (2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等； (3)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图)． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数． 【助学·微博】 　解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 考点自测 1．(2012·江苏金陵中学)已知ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积等于________．　 解析　记三角形三边长为a－4，a，a＋4，则(a＋4)2＝(a－4)2＋a2－2a(a－4)cos 120°，解得a＝10，故S＝×10×6×sin 120°＝15. 答案　15 2．若海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，BAC＝60°，ABC＝75°，则B，C间的距离是________海里． 解析　由正弦定理，知＝.解得BC＝5(海里)． 答案　5 3．(2013·日照调研)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为________海里/时． 解析　由正弦定理，得MN＝＝34(海里)，船的航行速度为＝(海里/时)． 答案　 4．在ABC中，若2absin C＝a2＋b2＋c2，则ABC的形状是________． 解析　由2absin C＝a2＋b2＋c2，a2＋b2－c2＝2abcos C相加，得a2＋b2＝2absin.又a2＋b2≥2ab，所以 sin≥1，从而sin＝1，且a＝b，C＝时等号成立，所以ABC是等边三角形． 答案　等边三角形 5．(2010·江苏卷)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若＋＝6cos C，则＋的值是________． 解析　利用正、余弦定理将角化为边来运算，因为＋＝6cos C，由余弦定理得＝6·，即a2＋b2＝c2.而＋＝＝·＝＝＝＝4. 答案　4考向一　测量距离问题 【例1】 如图所示，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km. (1)求证：AB＝BD； (2)求BD. (1)证明　在ACD中，DAC＝30°，ADC＝60°－DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1.又BCD＝180°－60°－60°＝60°， 故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA. (2)解　在ABC中，＝， 即AB＝＝(km)， 因此，BD＝(km) 故B、D的距离约为 km. [方法总结] (1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型． (2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解． (3)应用题要注意作答． 【训练1】 隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边先选取相距千米的C，D两点，同时测得ACB＝75°，BCD＝45°，ADC＝30°，ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离． 解　如题图所示，在ACD中，ADC＝30°，ACD＝120°，CAD＝30°，AC＝CD＝(千米)． 在BDC中，CBD＝180°－45°－75°＝60°. 由正弦定理，可得BC＝＝(千米)． 在ABC中，由余弦定理，可得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosBCA， 即AB2＝()2＋2－2·cos 75°＝5， AB＝(千米)．所以两目标A，B间的距离为千米．考向二　测量高度