宁波理工微积分辅导5-(无穷级数).pptVIP

幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ; 由Abel 定理可以看出, 用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点, 的收敛域是以原点为中心的区间 则 R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ; R = ? 时, 幂级数在 (－R , R ) 收敛 ; (－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域. R 称为收敛半径 ， 在[－R , R ] 可能收敛也可能发散 . 外发散; 在 (－R , R ) 称为收敛区间. 发 散 发 散 收 敛 收敛 发散 收敛半径R的求法 的系数满足 1) 当? ≠0 时, 2) 当? ＝0 时, 3) 当? ＝∞时, 则 若 * * 例1. 求下列级数的敛散区间: 时原级数收敛 . 当 时, 因此级数在端点发散 , 故收敛区间为 * * 级数收敛; 一般项 不趋于0, 级数发散; 故收敛区间为 例2. 解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数 极限不存在 ∵ 原级数 = ∴ 其收敛半径 注意: ? 求部分和式极限 三、幂级数和函数的求法 求和 ? 映射变换法 逐项求导或求积分 对和式积分或求导 难 直接求和: 直接变换, 间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值 求部分和等 ? 初等变换法: 分解、套用公式 （在收敛区间内） ? 数项级数求和 定理 若幂级数 的收敛半径 则其和函 在收敛域上连续, 且在收敛区间内可逐项求导与 逐项求积分, 运算前后收敛半径相同: 注: 逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变. 例1. 求幂级数 法1 易求出级数的收敛域为 法2 先求出收敛区间 则 设和函数为 例2. 解: (1) 显然 x = 0 时上式也正确, 故和函数为 而在 x≠0 求下列幂级数的和函数： 级数发散, (2) 显然 x = 0 时, 和为 0 ; 根据和函数的连续性 , 有 x = ?1 时, 级数也收敛 . 即得 例3.求级数 解: 原式= 的和 . 四、函数展开成幂级数 1. 直接展开法 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内 是否为0 函数f(x)展开成幂级数的步骤如下 : 展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知其级数展开式 * * 2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,将所给函数展开成幂级数 常用函数的幂级数展开式 * * 例1. 将 展成 解: 的幂级数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 将 展成 x－1 的幂级数. 解: 例3. 将下列函数展开成 x 的幂级数 解: x＝±1 时, 此级数条件收敛, 因此 例4. 将 在x = 0处展为幂级数. 解: 因此 * * 1.求幂级数 的收敛区间以及和函数，并求级数 的和。 * * 2.将函数 展开成关于x的幂级数， 并求级数 的和。 * * 3.若级数 收敛，则下列不正确的是（ C ） A. B. C. D. 必收敛 必收敛 必收敛 必收敛 * * 必收敛 必收敛 必收敛 未必收敛 收敛,但是 发散 * * 4.将 展开成麦克劳林级数 两边积分得 两边再次积分得 * * 为正整数， （1）证明：F(x)=0有且仅有一个正实根，记作 （2）证明级数 收敛 收敛 收敛 5， * * 的敛散性 讨论 为交错级数 当x充分大时， 当n充分大时， 单调减少 收敛 发散 综上， 条件收敛 * * 将 展开成关于x-2的幂级数 * * （1）.求 （2）.求 * * * Thank You! * ( L. P374, 5 ) * 运行时, 点击相片, 或按钮“阿贝尔” 可显示阿贝尔简介, 并自动返回. 微积分立交桥辅导5 无穷级数 程荣军 * * 知识点： 1. 常数项级数收敛的定义，级数收敛的必要条件； 2. 正项级数“敛散性”的判别： (1)部分和有界(2)比较判别法(3)极限判别法(4)比值判别法(5)根值判别法 3. 交错级数的 Leibniz判别法； 4. 幂级数的收敛半径与收敛域的计算； 5. 幂级数的和函数计算. 一、数项级数收敛的性质和必要条件 * * * * 级数的部分和数列 则称无穷级数收敛并称 S 为级数的和 则称无穷级数发散 . * * 无穷级数的基本性质 性质1. 若级数 收敛于 S , 则级数 也收敛，且和为c S 性质2. 若级数 分别收敛于 S ,T， 和 则级数 也收敛，且和为 性质3. 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数的敛散性 性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数