补充-张量分析.pptVIP

抽象的意义---突破人想象力的局限 1、代数学：代数X既不是1、2、3，又可以是1是2是3 2、微分方程：同一方程既可以描述热传导，也可以描述化学扩散 3、抽象空间：哈密顿空间、系综相空间 4、指标符号系统：矢量与张量 3. 三维情况 (三维坐标系旋转) 考虑一位置矢量 同理 同二维问题，可得 （正交性） 可试证： 4. 张量定义 定义：在坐标变换时，满足如下变换关系的量称为张量 自由指标数目n称为张量的阶数，对于三维空间，张量分量的个数为3n个，变换式也有3n个。 采用并矢记号（不变性记法或抽象记法） 可写成上式的量也称为张量（第二种定义） 基矢量的坐标变换符合前述要求 标量：零阶张量 矢量：一阶张量 张量：二阶张量 讨论 1 2 上述表达式具有不变性特征； 张量分量 与坐标系有关； 3 在坐标变换时遵循相同的变换规律 自然法则与坐标无关（直角坐标与极坐标下的平衡方程） 坐标系的引入方便了问题的分析，但也掩盖了物理本质，并且相关表达式冗长 引入张量方法 1. 张量的数乘 张量代数 2. 张量的加法 3. 矢量与二阶张量的点积 1 2 左点乘： 右点乘 : 点乘得到的新张量比原张量低一阶 张量代数 1 左点乘： 3. 矢量与二阶张量的点积 张量代数 点积相当于指标缩并，导致张量阶数降低 二阶张量相当于一个线性变换，或空间转移 张量代数 4. 矢量与二阶张量的叉积 1 左叉乘： 叉乘得到的新张量与原张量同阶 2 右叉乘 : 张量代数 4. 两个张量的点积 两个二阶张量点积得到一个新二阶张量，相当于矩阵相乘 两个任意阶张量点积得到一个新张量，阶数是两个原张量之和减2 张量代数 5. 两个张量的双点积 两个任意阶张量双点积得到一个新张量，阶数是两个原张量之和减4 * 退 出 上 页 下 页 第三节 张量分析 第一节 指标符号 第二节 张量的定义和代数运算 符号推导过程中，概念要清楚 初步 参考教材：弹性力学，陈国荣编著，河海大学出版社 自然法则与坐标无关（直角坐标与极坐标下的平衡方程） 坐标系的引入方便了问题的分析，但也掩盖了物理本质，并且相关表达式冗长 引入张量方法 §A－1 指标符号 下标符号 i 称为指标，n 为维数 指标 i 可以是下标，如 xi 也可以是上标，如 xi 记作 指标的取值范围如不作说明，均表示从1~3 通过指标轮换，用1项表示很多项，简洁！ 采用指标表示的符号系统称为指标符号，一般采用下标 xi（ i=1,2,3）～ x1，x2，x3 ～ x, y, z ui（ i=1,2,3）～ u1，u2，u3～ u, v, w ～ ～ 一．若干约定 哑标和自由标 1. Einstein求和约定 凡在某一项内，重复一次且仅重复一次的指标，表示对该指标在它的取值范围内求和，并称这样的指标为哑指标或哑标。如： 又如： 重复不止一次的指标，求和约定失败 求和约定仅对字母指标有效，如 同一项内二对哑标应使用不同指标，如 1 2 3 4 哑标可以换用不同的字母指标 2.求导记号的缩写约定 k 二维问题 平衡微分方程的指标表示 3.自由指标 定义：凡在同一项内不重复出现的指标。如 j 为自由指标 j=1 j=1 j=1 j=2 j=3 j=1 j=1 同一个方程中各项的自由指标必须相同 不能单独改变某一项的自由指标，但可以同时改变所有项的自由指标 1 2 wrong right 如： 二．克罗内克（Kronecker-δ）符号 定义： 由定义 特殊的指标符号 当克罗内克符与其它项连乘时，可作指标替换 性质： 三．Ricci 符号 定义： 共27个分量，亦称为排列符号或置换符号 即： 特殊的指标符号 矩阵的行列式可表示为: §A－2 张量的定义和 代数运算 说明 任意矢量可以表示为基矢量的线性组合 1 2 基矢量不是唯一的 1. 矢量的基本运算 (1)点积 基矢量点积 任意两矢量的点积 1 2 投影 1 (2) 叉积 基矢量的叉积 由于 特别地： （比较： ） 两个任意矢量的叉积 2 (3) 混合积 基矢量混合积 故也有定义 1 置换符号就是基矢量的混合积 矢量混合积 表示的是以 为边长的平行六面体的体积。 2 (4) 并矢（并乘） 定义： 展开共9项， 可视为并矢的基 为并矢的分解系数或分量 2. 平面笛卡儿坐标系的旋转变换 互为逆矩阵 互为转置矩阵 为正交矩阵 引用指标符号： 由 又 互为逆矩阵 说明 1 2 矢量的分量也具有与坐标分量相同的变换规律 基矢量具有与坐标分量