2-3-2 开映射定理.pdfVIP

定义：设X、Y 为Banach 空间(或者B*、F、 F*空间) 。称有界线性映射T ：XY 为开映 射，若任意开集EX，T(E) 为Y 的开子集。 和逆算子比较，某种程度上比逆算子广。若 T 可逆又是开映射，则X 中某个以0 为球心的 开球映射过去包含Y 中某小球，将Y 中小球平 -1 移到0 为球心，则其逆有界。从而T 有界。 定义：设X、Y 为Banach 空间。称线性算子 T ：XD(T)→Y 为闭算子，若T 的图像 G(T) = {(x ，Tx) | xD(T)} 是X ×Y 的闭子集， 即D(T)x →x ，Tx →y xD(T)，Tx = y 。 n n 有界线性算子比较，主要区别在于有界线性 算子中xD(T) 是条件，这里是结论。 例：闭算子而不是有界算子的例子 1、令X = Y = C[0 ，1]，定义映射T ：D(T)→Y dx(t ) (Tx)(t ) ， x [0， 1] dt 则T 为闭算子，但是T 无界。 无界：考虑函数族{ ent | n=1，2，…}； 1 闭算子：显然，D(T) = C [0，1]，若有 x →x ，Tx →y ，则反过来考虑积分，可知 n n 1 xC [0，1]，Tx = y 例：闭算子而不是有界算子的例子 1 p 2、令X = Y = l (或l )，定义映射T ：D(T)→Y Tx ( ， 2 ，...， n ，...)， 1 2 n x ( ， ，...， ，...) l 1 1 2 n 则T 为闭算子，但是T 无界。 无界：考虑l1 的基{ en | n=1，2，…}； 闭算子：若x →x ，Tx →y ，考虑T 的逆 n n -1 即可知T 连续，可得xD(T) ，Tx = y 有界线性算子必然是闭算子； -1 若T 为有界线性算子，则T 为闭算子； 若T 为无界线性闭算子，则D(T) 为X 的 真子集。 1 例1 中D(T) = C [0，1]C[0，1] 2 例2 中，令x = (1，1/4，…，1/n ，…)， 1 则xl ，但是xD(T)，这是因为若xD(T)， 则Tx = (1，1/2，…，1/n，…)l1 例2 中，也可以看出闭算子与有界线性算 子之间的区别：即使D(T)x →x ，xD(T) 未 n 2 必成立。令xn = (1，1/4，…，1/n ，0，…)，