计算凝聚态物理1.pdfVIP

计算凝聚态物理 凝聚态物质的数值模拟方法 马红孺 凝聚态物质的数值模拟方法主要有三类: 1, Monte Carlo 方法, a, 经典统计物理的Monte Carlo 方法, b, 量子Monte Carlo 方法, 2, 分子动力学方法, 3, 布朗动力学方法. 数值模拟基础: 赝随机数的产生和检验, 微分方程的数值解法. 物理基础: 统计物理学, 凝聚态物理基础知识. 统计物理复习: 理论凝聚态物理的核心问题是: 1, 建立理论模型, 写出哈密顿量; 2, 利用统计物理计算凝聚态物质的各个物理量. 常用的凝聚态物理模型: 1, 格点模型: Ising 模型, Potts模型和Heisenberg 模型及其它们的各种变形(XY, 自旋 玻璃,…), Hubbard 模型, 无规行走模型, 逾渗模型, 简谐固体 …… 2, 非格点类模型: 经典流体(硬球, LJ, Yukawa, ……); 量子流体(固体中的电子, 液氦, ……) 3, 高分子模型. 4, 布朗运动模型. 5, … … 我们不讨论模型的建立, 只讨论如何计算! 经典统计物理: 给定系统的哈密顿量 H(x , x , , x ), 1 2 N 计算配分函数 自由能: 对自由能求导, 得到各个物理量. 内能： 熵： 问题: 配分函数求不出来!!! (除 1D 和 2D Ising, 理想气体, … , 很少的几个模型外) 另一种表述方式: 概率分布: 物理量是状态(用{x}表示)的函数 : 平均值: 涨落： 对于能量： 注意到： 必须考虑涨落效应！ 所以： 实际系统 模拟系统 多重积分的计算, Monte Carlo 方法: 由上述第二种表述, 物理量的平均值的计算归结为一个多重积分的计算, 设系统 由100个粒子构成, 每个粒子有6个自由度, 所以需要计算600重积分. 现在考虑在 每一维取10个点, 总共有10600个点. 假设计算机每秒可以计算1012个点, 计算 这个积分需要10588秒!!!!! 问题比这个更严重! 如果如上述方式取点, 则积分区域的内点数为 8600, 在总的点 中所占比例为 (8/10)600=0.714 × 10-58, 也就是说, 取的点基本上都在表面上!!! 解决这个问题的方法是Monte Carlo方法. 用Monte Carlo 方法计算积分, 最简单的办法就是在积分区域内随机地取一系列 点, 计算被积函数在这些点上的数值并取平均, 然后乘以积分区域的体积. 这种 方法称为简单抽样法. 简单抽样法实现起来非常简单, 但有一个问题, 就是把被积函数很小和很大 的地方同等对待. 改进这个问题的方法是在重要的区域多取几点. 这种方法 称为重要性抽样法. 简单抽样方法: 两个例题 例题一: 计算积分 这个积分的精确值是 现在用简单抽样法计算此积分. 102 0.879679 1.47× 10-2 1.69 × 10-2 0.1 1.69 × 10-1 103 0.871238 4.92 × 10-3 5.45 × 10-3 3.16 × 10-2 1.72× 10-1 4 3.03 × 10-3 1.74 × 10-3 -2 1.74 × 10-1 10 0.869603 10 105 0.866777 2.26 × 10-4 5.61 × 10-4 3.16 × 10-3 1.77 × 10-1 106 0.866876 1.11× 10-4 1.77× 10-4 0.001 1.77 × 10-1 1