2007.1.5立体几何中的向量方法(三).pptVIP

* 上一节的课外思考题 练习巩固 引入 方法的分析 课外练习 A1 B1 C1 D1 A B C D H 分析：面面距离转化为点面距离来求 尝试： ∴所求的距离是 课本第114页例1的思考(3) 晶体中相对的两个平面之间的距离是多少?(设棱长为1) 几何法较难,如何用向量知识求点到平面的距离? 几何分析加向量运算 妙!妙!妙! 能否用法向量运算求解呢? 可证得 如何用向量法求点到平面的距离： 思考题分析 详细答案 D A B C G F E x y z D A B C G F E x y z 1答案 2答案 A P D C B M N 2.(课本第116页练习2)如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长. B A C D 解：如图,以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz 则D(0,0,0),A( ,0,0),B( , ,0),C(0, ,0),P(0,0, ) D M P N A x C B z y 2.如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长. B A C D 例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 和 ,CD的长为 , AB的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 解：如图， 化为向量问题 根据向量的加法法则 进行向量运算 于是，得 设向量 与 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。 因此 A B C D 图3 回到图形问题 库底与水坝所成二面角的余弦值为 课外练习: 正三棱柱 中，D是AC的中点,当 时，求二面角 的余弦值. C A D B C1 B1 A1 解:如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.设底面三角形的边长为a，侧棱长为b 则 C(0,0,0), 故 由于 ,所以 ∴ y x z C A D B C1 B1 A1 在坐标平面yoz中 ∵ 设面 的一个法向量为 可取 ＝（1，0，0）为面 的法向量 ∴ 广东省阳江市第一中学周如钢 广东省阳江市第一中学周如钢 知识要点2 例1 例1答案 作业及练习 例2 * 自学课本例2 作业:课本5 练习(用向量法求距离): 1.如图,是矩形,平面,,, 分别是的中点,求点到平面的距离. 立体几何中的向量方法(三) 这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的绝对值. 如图A空间一点P到平面的距离为d,已知平面的一个法向量为,且与不共线,能否用与表示? 分析:过P作PO⊥于O,连结OA. 则d=||= ∵⊥,∴∥. ∴cos∠APO=|cos|. ∴d=|||cos|==. 思考题: 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离. 解：如图，建立空间直角坐标系C－xyz． 由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)． 设平面EFG的一个法向量为 思考题: 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离. 答:点B到平面EFG的距离为. 立体几何中的向量方法(三) 分析:用几何法做相当困难,注意到坐标系建立后各点坐标容易得出,又因为求点到平面的距离可以用法向量来计算,而法向量总是可以快速算出. 果断地用坐标法处理. ∵分别是的中点,∴ ∴,, 设为平面的一个法向量, ∴ ∴且 ∴在上的射影长即点到平面的距离为. 解:, , 且, ∵ ∴ = 68 ∴ 答: CD的长为. 注:利用本题中的向量关系我们还可以倒过来求二面角的大小.例如课本第115页例2(自学) 作业:课本5 解得, ∴可取 可求出一个∴所求的余弦值为.