§1.7定积分在几何中的应用(含练习).ppt

§1.7 定积分在几何中的应用 高二数学组 1.微积分基本定理---------牛顿－莱布尼茨公式 牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系． 2.利用牛顿－莱布尼茨公式求定积分的关键是 思考:试用定积分表示下面各平面图形的面积值: 图1.曲边梯形 x y o 图2.如图 x y o 图4.如图 图3.如图 解 两曲线的交点 o x y 解: 两曲线的交点 直线与x轴交点为(4,0) S1 S2 解: 两曲线的交点 8 2 4 解: 两曲线的交点 于是所求面积 说明： 注意各积分区间上被积函数的形式． 例3 求由抛物线y2=8x(y0)与直线x+y-6=0及y=0所围成的图形的面积. x y O 6 6 2 求由曲线围成的平面图形面积的一般步骤: (1)画草图;(2)求曲线的交点定出积分上、下线;(3)确定被积函数,但要保证求出的面积是非负的;(4)写出定积分并计算. 例4 已知抛物线y=x2-2x及直线x=0,x=a,y=0围成的平面图形的面积为4/3,求a的值. 若”面积为4/3”,改为”面积不超过4/3”呢? 思路:根据a的取值的不同分类讨论. 当a≤0时, ,解得a=-1 当a2时, , ,无解 当0a≤2时, ,解得a=2 注意 故a=-1或a=2 [-1,2] 巩固练习: 1.由定积分的性质和几何意义,说明下列 各式的值. 2.一桥拱的形状为抛物线,已知该抛物线 拱的高为常数h,宽为常数b,求抛物线 拱的面积. x y 0 3.已知直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围图形为面积相等的两部分,求k的值. 4.求下列曲线所围成的图形的面积: (1)y=x2,y=2x+3; (2)y=ex,y=e,x=0. 课外练习 求在直角坐标系下平面图形的面积步骤: 1.作图象; 2.求交点的横坐标,定出积分上、下限; 3.确定被积函数，用定积分表示所求的面积，特别注意分清被积函数的上、下位置; 4.用牛顿－莱布尼茨公式求定积分. 课外练习 例２ 在Ｘ轴上投影时，如何用定积分表示？ 补偿： * * * 例1 * 例2 * 例3 * 例1答案 * 例3答案 * 知识要点3 * 作业及练习 前面，我们运用分割→近似代替→求和→取极限的过程，求出了一些曲边梯形(由函数 ()的图象和直线,,轴围成的平面图形)的面积. 并把它们浓缩成了一个结果:定积分() 我们知道定积分的几何意义： 它是介于轴、函数的图象及两条直线之间的各部分面积的代数和.(在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积取负号) 例1 计算由两条抛物线和所围成的图形的面积. 例2 计算由曲线 ，直线以及x轴所围成的图形的面积. 练习1（课本变式题）： 计算由曲线和直线所围成的图形的面积. 练习2：计算由曲线??和?所围成的图形的面积. 学习小结: