第一章 线性空间与线性变换-矩阵理论课件.pptVIP

上的一个线性变换。设 定义： ③实多项式空间上的一个线性变换。设对 定义： 上全体连续函数构成的实线性空间的一个线性变换。设对 定义： 定理1 （线性变换的性质） 设 是 的线性变换，则有下列性质： ① ②设 ，则 ③线性变换把线性相关组变为线性相关组；但不能把线性无关组变为线性无关组（可以考虑零变换）。 定义5 （线性变换的运算） 设 是 的两个线性变换， ①和运算：如果对 则称 为 和 的和，记为 。 定理1 （线性变换的性质） 设 是 的线性变换，则有下列性质： ① ②设 ，则 ③线性变换把线性相关组变为线性相关组；但不能把线性无关组变为线性无关组（可以考虑零变换）。 乘积运算：如果对 则称 为 和 的乘积，记为 。 ③数乘运算：如果对 则称 为数 和 的数乘运算，记为 。 ④逆运算：设 是 的单位线性变换， 是 的线性变换，如果存在 的一个线性变换 ，满足 ，则称变换 是可逆的，记为 。 定理2 （线性变换的运算性质） 结合律、交换律、分配律等（略），参见教材P13。 注：有了线性变换运算的定义，容易看出：对于 中定义的所有线性变换的全体构成的集合，对于上述定义的加法和数乘运算满足封闭性，因此该集合也构成数域 上的线性空间，通常可以记为： 线性空间 的全体线性变换 例9 设 是线性空间 的线性变换，证明： 是 的子空间（称之为象子空间）， 的维数称为线性变换 的秩。 利用子空间的定义容易验证对加法和数乘封闭（略）。 * 第一章 线性空间与线性变换 一、线性空间的定义 定义1 设集合 ， 是一个数域（包含非零元素的数集且对四则运算法则封闭），如果满足 1.在 上定义一个加法运算： 2.在 上定义一个数乘运算： 3.上述两种运算满足下列8条规则： ① ② §1、线性空间的概念 ③ 中存在一个零元素 ，即对 中存在一个负元素 ，即对 记作 ⑤对 ⑥对 ⑦对 ⑧对 则称集合 为数域 上的线性空间或向量空间，记 作 ， 中元素称为向量。特别， 时， 为实向量空间， 时，为复向量空间。 注、①零向量与负元素唯一存在（自己证） ② 例1 下列集合均为线性空间 ① ②次数不超过n的多项式集合： ③n维向量空间： ④数域R上 阶矩阵构成的集合： ⑤ 定义在区间 上所有连续函数的全体： 二、线性相关（无关）的定义 定义2 设 ， ，如果存在 一组不全为0的数 ，使得 则称向量 线性相关，否则称线性无关。 例2 讨论下列矩阵向量组的线性相关性（ ）： 解： 根据线性相关的定义判定 设 由系数行列式是否为0判定即可 线性相关（无关）的性质： ①部分相关则整体相关； ②整体无关则部分无关； ③ 线性相关 其中至少一个向量可由其余向量线性表示（表出）。 定义3 设 是 中的一组线性无关向量，且线性无关组的向量个数不超过n（或V中任意n+1个向量都线性相关），则称 是V的一个最大无关组，简称为基。向量空间V的基所含向量的个数称为V的维数，记为dim(V)。（注：基不唯一） n维向量空间通常记为 定理1 设 ， 是V的一组基，则对