66子空间的直和、线性空间的同构.pptVIP

§6.7 子空间的直和 一、直和的定义 二、直和的判定 三、多个子空间的直和 第*页共25页 一、直和的定义 设　　 为线性空间V的两个子空间，若和 是唯一的，和　　　就称为直和，记作 注: 若有 则 ① 分解式　　　　　 唯一的，意即 中每个向量　的分解式 第*页共25页 ② 分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中 都成立. 例如，R3的子空间 这里， 在和　　　中，向量的分解式不唯一，如 所以和　　　不是直和. 第*页共25页 而在和　　　中，向量 (2,2,2) 的分解式是唯一的， 事实上，对　　　　　　　　　　　 故　　　是直和.　 都只有唯一分解式： 第*页共25页 二、直和的判定 分解式唯一，即若 1、(定理8) 和　　　是直和的充要条件是零向量 则必有 证：必要性. 是直和, 的分解式唯一. 而0有分解式 第*页共25页 充分性. 故　　　　是直和. 设　　　　　，它有两个分解式 有 其中 于是 由零向量分解成唯一，且 即 的分解式唯一. 第*页共25页 2、和　　　是直和 则有 即 是直和. “　　”任取 证：“　　”　若 于是零向量可表成 由于　　　是直和，零向量分解式唯一， 故 第*页共25页 证：由维数公式 3、和　　　是直和 有， 是直和. （由2、得之） 第*页共25页 总之，设　　　为线性空间V的子空间，则下面 四个条件等价: 2）零向量分解式唯一 1）　　　是直和 3） 4） 4、(定理10) 设U是线性空间V的一个子空间， 称这样的W为U的一个余子空间. 则必存在一个子空间W，使 第*页共25页 证：取U的一组基 把它扩充为V的一组基 则 余子空间 一般不是唯一的(除非U是平凡子空间). 注意： 如，在R3中，设 则 但 第*页共25页 5、设　 　　　　　　　　　分别是线性子空间 的一组基，则 是直和 线性无关. 证：由题设， 若　　　　　　　　　　线性无关， 则它是 的一组基. 从而有 第*页共25页 反之,若　 直和，则 从而　　　　　　　　　　的秩为r＋s . 所以　　　　　　　　　　线性无关. 是直和. 第*页共25页 1、定义 中每个向量　的分解式　　 三、推广　　多个子空间的直和 都是线性空间V的子空间，若和 是唯一的，则和　　　就称为直和，记作 第*页共25页 四个条件等价: 2）零向量分解式唯一，即 3） 4） 2、判定 设　　　　　都是线性空间V的子空间，则下面 1）　　　　是直和 第*页共25页 小结 子空间的直和是子空间的和的特殊情形。 透过直和可以了解线性空间（或子空间的本质的构成）。 理解直和的特点（定理8（及推论），定理9以及针对多个子空间的定理11） 作业：P271:19—22题中选两个。 第*页共25页 一、同构 映射的定义 二、同构的有关结论 §6.8 线性空间的同构 第*页共25页 因此，　是V到 Pn 的一一对应. 引 入 我们知道，在数域P上的n维线性空间V中取定一 有唯一确定的坐标 组基后，V中每一个向量 向量的坐标是P上的n元数组. 因此属于 并且　　 即　 也是满射. 与　 对应, 这样一来，取定了V的一组基 对于V中每一个向量 令 在这组基下的坐标 就得到V到Pn的一个单射 反过来，对于 Pn 中的任一元素 是V中唯一确定的元素， 第*页共25页 这个对应的重要必性表现在它与运算的关系上. 任取　　　　 设 则 归结为它们的坐标的运算. 这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以 从而 第*页共25页 一、同构映射的定义 设　　 都是数域P上的线性空间，如果映射 具有以下性质： 则称　　　　　的一个同构映射，并称线性空间 同构，记作 ii) iii) i) 　 为双射 第*页共25页