【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.1.5 空间向量的数量积课后知能检测 苏教版选修2-1.docVIP

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.1.5 空间向量的数量积课后知能检测 苏教版选修2-1 一、填空题 1．下列结论中正确的序号是________． a·b＝a·c(a≠0)b＝c； a·b＝0a＝0或b＝0； (a·b)·c＝a·(b·c)； a·(λb)＝λ(a·b)； 若a·b0，则a，b的夹角为钝角． 【解析】　根据数量积的运算律可知正确．任取与a垂直的两个向量作为b，c，都能保证此等式成立，所以b＝c不一定成立；只要ab，a＝0，b＝0有一个成立时，就有a·b＝0，所以a＝0或b＝0不一定成立；当a，c不共线时，此结论不成立；当a，b反向共线时，a，b的夹角为π，a·b0也成立，故不正确． 【答案】　 2．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，则a·a＋a·b＝________. 【解析】　a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝1＋1×1×cos 120°＝. 【答案】　 3．(2013·哈师大附中高二检测)已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是________． 【解析】　(ka＋b)(2a－b)， (ka＋b)·(2a－b)＝0， 2ka2＋(2－k)a·b－b2＝0， 2k×2＋(2－k)(－1)－5＝0，k＝. 【答案】　 4．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝________. 【解析】　p＝(1,1,0)－(0,1,1)＝(1,0，－1)， q＝(1,1,0)＋2(0,1,1)－(1,0,1)＝(0,3,1)， p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1. 【答案】　－1 5．|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|＝________. 【解析】　a·b＝2×3·cos 60°＝3， |2a－3b|＝ ＝＝. 【答案】　 6．(2013·广州高二检测)已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________． 【解析】　a＋b＋c＝0，c＝－(a＋b) a·b＋b·c＋c·a＝a·b＋(a＋b)·c ＝a·b－c2＝a·b－16 c＝－(a＋b)，|c|2＝a2＋2a·b＋b2， a· b＝3， 原式＝3－16＝－13. 【答案】　－13 7．已知|a|＝2，|b|＝3，ab，(3a＋2b)(λa－b)，则λ＝________. 【解析】　a⊥b，a·b＝0，又(3a＋2b)(λa－b)， (3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝12λ－18＝0，解得λ＝. 【答案】　 8．(2013·潍坊高二检测)设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则BCD是________三角形(填“钝角”、“锐角”或“直角”) 【解析】　＝－，＝－，·＝(－)·(－)＝·－·－·＋||2＝||20， cos∠CBD＝cos〈，〉＝0，则CBD为锐角．同理，BCD与BDC均为锐角， BCD为锐角三角形． 【答案】　锐角 二、解答题 9．如图3－1－24所示，已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，设＝a，＝b，＝c，求： (1)·，cos〈，〉； (2)·. 图3－1－24 【解】　(1)由题意知·＝(a＋b＋c)·(a－b＋c)＝a2＋c2＋2a·c－b2＝1，易得||＝，||＝，故cos〈，〉＝＝. (2)·＝(b＋c－a)·b＝b2＋b·c－b·a＝1. 10．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱AB，BC上的动点，且AM＝BN. 求证：A1NC1M. 【证明】　如图所示，建立空间直角坐标系D－xyz，不妨设正方体的棱长为1，设AM＝BN＝x(0≤x≤1)，则M(1，x,0)，N(1－x,1,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)． ＝(－x,1，－1)，＝(1，x－1，－1)， ·＝(－x,1，－1)·(1，x－1，－1)＝－x＋x－1＋1＝0， ⊥，即A1NC1M. 11．已知向量a＝(cos x，sin x,0)，b＝(cos ，－sin ，0)，且x[0，]，求： (1)a·b及|a＋b|； (2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求实数λ. 【解】　(1)a·b＝cos xcos －sin xsin ＝cos 2x， |a＋b|＝ ＝＝＝2cos x. (2)由(1)知，f(x)＝a·b－2λ|a＋b|＝cos 2x－2λ·2cos x＝2cos2x－4λcos x－1＝2(cos x－λ)2－2λ2－1.x∈[0，]， cos x∈[0