【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.2 一般形式的柯西不等式课后知能检测 新人教A版选修4-5.docVIP

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.2 一般形式的柯西不等式课后知能检测 新人教A版选修4-5 一、选择题 1．设a，b，cR＋，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值是(　　) A．1　　　　　　　 B． C．3 D．9 【解析】　由柯西不等式得[()2＋()2＋()2](12＋12＋12)≥(＋＋)2，(＋＋)2≤3×1＝3. 当且仅当a＝b＝c＝时等号成立． ＋＋的最大值为.故选B. 【答案】　B 2．已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值为(　　) A．1 B．2 C．－1 D．不确定 【解析】　(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a＋a＋…＋a)(x＋x＋…＋x)＝1×1＝1. 当且仅当ai＝xi＝(i＝1,2，…，n)时等号成立． a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是1. 故选A. 【答案】　A 3．若实数a，b，c均大于0，且a＋b＋c＝3，则的最小值为(　　) A．3 B．1 C. D． 【解析】　a＋b＋c＝1·a＋1·b＋1·c，且a，b，c大于0.由柯西不等式， (1·a＋1·b＋1·c)2≤(12＋12＋12)(a2＋b2＋c2) a2＋b2＋c2≥3， 当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立． 的最小值为. 【答案】　D 4．已知x，y，z均大于0，且x＋y＋z＝1.则＋＋的最小值为(　　) A．24 B．30 C．36 D．48 【解析】　(x＋y＋z)(＋＋) ≥(·＋·＋·)2＝36. ＋＋≥36. 【答案】　C 二、填空题 5．(2013·湖南高考)已知a，b，cR，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________． 【解析】　a＋2b＋3c＝6，1×a＋1×2b＋1×3c＝6. (a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12.当且仅当＝＝，即a＝2，b＝1，c＝时取等号． 【答案】　12 6．设a，b，c，x，y，z都是正数，且a2＋b2＋c2＝25，x2＋y2＋z2＝36，ax＋by＋cz＝30，则＝________. 【解析】　由柯西不等式知：25×36＝(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝302＝25×36， 当且仅当＝＝＝k时取“＝”． 由k2(x2＋y2＋z2)2＝25×36，解得k＝. 所以＝k＝. 【答案】　 三、解答题 7．已知实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，求t＝x2＋4y2＋z2的最小值． 【解】　由柯西不等式得 (x2＋4y2＋z2)(1＋1＋1)≥(x＋2y＋z)2， x＋2y＋z＝1， 3(x2＋4y2＋z2)≥1，即x2＋4y2＋z2≥. 当且仅当x＝2y＝z＝，即x＝，y＝，z＝时等 号成立． 故x2＋4y2＋z2的最小值为. 8．已知f(x)＝ax2＋bx＋c的所有系数均为正数，且a＋b＋c＝1，求证：对于任何正数x1，x2，当x1·x2＝1时，必有f(x1)·f(x2)≥1. 【证明】　由于f(x)＝ax2＋bx＋c. 且a，b，c大于0. f(x1)·f(x2)＝(ax＋bx1＋c)(ax＋bx2＋c) ≥(x1·x2＋·＋c)2 ＝(ax1x2＋b＋c)2 ＝[f()]2＝[f(1)]2. 又f(1)＝a＋b＋c， 且a＋b＋c＝1， f(x1)·f(x2)≥1. 9．求实数x，y的值使得(y－1)2＋(x＋y－2)2＋(2x＋y－6)2取到最小值． 【解】　由柯西不等式，得 (12＋22＋12)×[(y－1)2＋(2－x－y)2＋(2x＋y－6)2] ≥[1×(y－1)＋2×(2－x－y)＋1×(2x＋y－6)]2＝9， 即(y－1)2＋(x＋y－2)2＋(2x＋y－6)2≥， 当且仅当＝＝， 即x＝，y＝时，上式取等号． 当x＝，y＝时(y－1)2＋(x＋y－2)2＋(2x＋y－6)2取到最小值． 教师备选 10．ABC的三边长a，b，c，其外接圆半径为R. 求证：(a2＋b2＋c2)(＋＋)≥36R2. 【证明】　由三角形中的正弦定理得： sin A＝，所以＝， 同理＝，＝， 于是由柯西不等式可得 左边＝(a2＋b2＋c2)(＋＋) ≥(a·＋b·＋c·)2＝36R2， 原不等式得证．