【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.6 矩阵的简单应用综合检测 苏教版选修4-2.docVIP

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.6 矩阵的简单应用综合检测 苏教版选修4-2 1．某车间有甲、乙两台机床，可用于生产三种工件，假定全年的产量见下表(单位：件)： 工件1 工件2 工件3 甲 800 600 300 乙 200 300 600 又已知工件1、工件2、工件3的销售价格分别为20元、30元和10元，请给出甲机床、乙机床全年的产值分别是多少？ 【解】　两机床全年产量可用一个2×3矩阵表示，记为 P＝， 各工件的销售价格向量为Q＝， 从而PQ＝ ＝. 故全年中甲机床的产值为37 000元，乙机床的产值为19 000元． 2．四种食品(F1，F2，F3，F4)在三家商店(S1，S2，S3)中，单位量的售价(以某种货币单位计)可用下面的矩阵表示： 那么在商店S1购买F2食品9单位，在商店S2购买F3食品3单位，在商店S3购买F4食品5单位，共需多少货币？ 【解】　M＝＝197，即共需197单位货币． 3．在密码学中，常用二阶矩阵对信息进行加密，现在我们先将英文字母数字化，a→1，b→2，…，z→26，发送方要传递的信息是come.双方约定的矩阵为，求发送的密码． 【解】　c→3，o→15，m→13，e→5， 由题意可得＝， 所以发送的密码为30,66,70,106. 4．如图是A、B、C三个城市间的交通情况，鲁川想从其中某一个城市出发直达另一个城市，他可以有几种选择？ 如果他想从某一个城市出发，先经过一个城市，再到达另外一个城市，他又有几种选择？ 【解】　从某城市出发直接到达另一城市的走法可以表示为 　A　B　C M＝. 其中第i行第j列的元素表示的第i个城市到第j个城市的直达交通情况． 从某城市出发，先经过一个城市，再到达另外一个城市的走法可以表示为 　A　B　C N＝ 其中第i行第j列的元素表示从第i个城市出发途径另外一个城到达第j个城的走法种类． 5．某运动服销售店经销A，B，C，D四种品牌的运动服，其尺寸有S(小号)，M(中号)，L(大号)，XL(特大号)四种，一天内，该店的销售情况如下表所示(单位：件)：　品牌型号　　 A B C D S 3 2 0 1 M 5 3 4 3 L 2 4 5 5 XL 1 0 1 1 假设不同品牌的运动服的平均利润是A为20元/件，B为15元/件，C为30元/件，D为25元/件，求S号的运动服在这天获得的总利润是多少？ 【解】　S号运动服的销售量是，不同品牌的平均利润是，于是＝＝， 故S号运动服在这天获得的总利润是115元． 6．已知盒子A中装有4只大小和重量相同的小球，其中2只黑色的，2只白色的；盒子B中装有5只大小和重量相同的小球，其中3只黑色的，2只白色的．假定A，B两个盒子很难分辨，而且可以任取一个，现在要求先取一个盒子，那么从中摸到一只白色小球的概率有多大？ 【解】　不妨设摸到黑色小球的可能性为X，摸到白色小球的可能性为Y，取出一个盒子的概率可以表示为M＝，从两个盒子中摸到一只黑色小球(X)和一只白色小球(Y)的概率可以用矩阵表示为 N＝，于是先取一个盒子，再从里面摸到一只黑色小球或白色小球的概率可由矩阵运算得·＝， 因此，先取一个盒子，从中摸到一只白色小球的概率为. 7．研究某城市的天气变化趋势，得到如下结论：若今天晴，则明天晴的概率为0.8，若今天阴，则明天晴的概率为0.4，如果该地区4月20日清晨天气预报当天晴的概率为0.6. (1)4月21日为晴天的概率是多少？ (2)5月1日为晴天的概率是多少？ 【解】　天气变化情况如图所示： 天气变化的转移矩阵为M＝，今天天气情况可用向量β＝表示． 第n天与第n＋1天的天气关系可表示为 (1)4月21日的天气情况为 Mβ＝·＝， 即4月21日为晴天的概率是0.64. (2)矩阵M的特征多项式为 f(λ)＝ ＝λ2－1.4λ＋0.4， 由f(λ)＝0解得λ1＝0.4，λ2＝1. 当λ1＝0.4时，代入特征方程 解出特征向量α1＝； 当λ2＝1时，代入特征方程 解出特征向量α2＝； 由β＝mα1＋nα2， 即＝m＋n， 解得 M11β＝－×(0.4)11×＋×111×＝≈， 即5月1日为晴天的概率约为. 8．工业发展时常伴有环境污染，怎样减少甚至消除环境污染是很重要的问题．某研究机构提出了有关污染和工业发展的工业增长模型．设P是目前的污染程度，D是目前的工业发展水平，P1和D1分别是5年以后的污染程度和工业发展水平．在许多发展中国家，工业发展模型实际上是：P1＝P＋2D，D1＝2P＋D. (1)设P2和D2分别是第二个5年以后的污染程度和工业发展水平，试求P2、D2与P、D的关系式； (2)某发展中国家目前的污染程度和工业发展水平都是1，设第n个5年以后，污染程度和工业发展水平分别为