【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.2 基本不等式课后知能检测 新人教B版选修4-5.docVIP

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.2 基本不等式课后知能检测 新人教B版选修4-5 一、选择题 1．若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是(　　) A．a2＋b22ab　　　　　B．a＋b≥2 C.＋ D.＋≥2 【解析】　A选项中，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，则排除A；当a0，b0时，a＋b02，＋0，则排除B、C选项；D选项中，由0，0得＋≥2 ＝2，当且仅当a＝b时取“＝”，所以选D. 【答案】　D 2．(2013·潍坊模拟)设a0，b0，且a＋b≤4，则有(　　) A.≥ B.＋≥1 C.≥2 D.≤ 【解析】　4≥a＋b≥2，≤2. ∴≥，＋≥2≥1. 【答案】　B 3．若x0，则4x＋的最小值是(　　) A．9 B．3 C．13 D．不存在 【解析】　因为x0，所以4x＋＝2x＋2x＋≥3，当且仅当2x＝，即x＝时等号成立． 【答案】　B 4．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(　　) A．60件 B．80件 C．100件 D．120件 【解析】　每批生产x件，则平均每件产品的生产准备费用是元，每件产品的仓储费用是元，则＋≥2 ＝20，当且仅当＝，即x＝80时“＝”成立，每批应生产产品80件，故选B. 【答案】　B 二、填空题 5．设x，yR，且xy≠0，则(x2＋)·(＋4y2)的最小值为________． 【解析】　(x2＋)(＋4y2)＝5＋＋4x2y2≥5＋2＝9，当且仅当x2y2＝时“＝”成立． 【答案】　9 6．(2013·四川高考)已知函数f(x)＝4x＋(x0，a0)在x＝3时取得最小值，则a＝________. 【解析】　f(x)＝4x＋≥2＝4(x0，a0)，当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，此时f(x)取得最小值4.又由已知x＝3时，f(x)min＝4， ＝3，即a＝36. 【答案】　36 三、解答题 7．若对任意x0，≤a恒成立，求实数a的取值范围． 【解】　由x0，知原不等式等价于 0≤＝x＋＋3恒成立． 又x0时，x＋≥2＝2， x＋＋3≥5，当且仅当x＝1时，取等号． 因此min＝5， 从而0≤5，解得a≥. 故实数a的取值范围为[，＋∞)． 8．已知a，b，c均是正数，求证： (1)≤ ； (2)＋＋≥(a＋b＋c)． 【证明】　(1)a2＋b2≥2ab， 2(a2＋b2)≥(a＋b)2， ≥. 又a0，b0， ≤ . (2)由(1)得≥(a＋b)． 同理：≥(b＋c)，≥(a＋c)． 三式相加得：＋＋≥(a＋b＋c)， 当且仅当a＝b＝c时，取“＝”号． 9．某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m)，如图1－1－1所示，垂直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角ABE＝α，ADE＝β. 图1－1－1 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度，若电视塔实际高度为125 m，问d为多少时，α－β最大？ 【解】　由题设知d＝AB，得tan α＝. 由AB＝AD－BD＝－，得tan β＝， 所以tan(α－β)＝ ＝≤， 当且仅当d＝，即d＝＝＝55时，上式取等号． 当d＝55时，tan(α－β)最大． 因为0βα，则0α－β， 当d＝55时，α－β最大．故所求的d是55 m. 教师备选 图1－1－2 10．如图1－1－2所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝2米． (1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？ (2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积． 【解】　(1)设AN＝x米(x2)，则ND＝(x－2)米． 由题意，得＝. ＝.AM＝. S矩形AMPN＝·x32. 3x2－32x＋640. (3x－8)(x－8)0. 2x或x8. AN的长的范围是(2，)(8，＋∞)． (2)S矩形AMPN＝＝ ＝3(x－2)＋＋12≥2＋12＝24， 当且仅当x＝4时取“＝”． 当AN的长度为4米时，矩形AMPN的面积最小，矩形AMPN的最小面积为24平方米．