核按钮2017高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理习题 理.doc

§10.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1．分类加法计数原理完成一件事有n类不同方案在第1类方案中有m种不同的方法在第2类方案中有m种不同的方法……在第n类方案中有m种不同的方法．那么完成这件事共有N＝________________分步乘法计数原理完成一件事需要分成n个步骤做第1步有m种不同的方法做第2步有m种不同的方法……做第n步有m种不同的方法．那么完成这件事共有N＝____________种不同的方法．3．两个计数原理的区别分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关做一件事的不同方法的种数问题区别在于：分类______________，用其中______________都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题各个步骤中的方法______________只有______________才算做完这件事．两个计数原理解决计数问题时的方法最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析——是需要分类还是需要分步．(1)分类要做到“______________”．分类后再分别对每一类进行计数最后用分类加法计数原理求和得到(2)分步要做到“______________”即完成了所有步骤恰好完成任务当然步与步之间要______________分步后再计算每一步的方法数最后根据分步乘法计数原理把完成每一步的方法数相乘得到总数．自查自纠＋m＋…＋m相互独立　任何一种方法　互相依存4．(1)不重不漏　(2)步骤完整　相互独立 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 将5封信投入3个邮筒不同的投法共有(　　)种 ．种 ．种 ．种解：第1封信可以投入第1个邮筒可以投入第2个邮筒也可以投入第3个邮筒共有3种投法；同理后面的4封信也都各有3种投法．所以封信投入3个邮筒不同的投法共有3种．故选 ()满足a－1且关于x的方程ax＋2x＋b0有实数解的有序数对(a)的个数为(　　)解：当a＝0时＋b＝0＝－有序数对(0)有4个；当a≠0时＝4－4ab≥0有序数对(－1)有4个(1，b)有3个(2，b)有2个．综上共有4＋4＋3＋2＝13个有序数对故选 ()高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践但去何工厂可自由选择甲工厂必须有班级要去则不同的分配方案有(　　)种 ．种 ．种 ．种解：三个班去四个工厂不同的分配方案共4种甲工厂没有班级去的分配方案共3种因此满足条件的不同的分配方案共有4－3＝37(种)．故选 某校高一有6个班高二有7个班高三有8个班．现选两个班的学生参加社会实践活动若要求这两个班来自不同年级则有不同的选法____________种．解：先分类再分步共有不同的选法：6×7＋7×8＋6×8＝146种．故填146. ()某高三毕业班有40人同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言那么全班共写了________条毕业留言(用数字作答)．解法一：根据题意每一位同学都要给除他之外的39名同学写毕业留言共有40×39＝1560条．解法二：由题意得所求为＝1560即全班共写了1560条毕业留言．故填1560. 类型一　分类与分步的区别与联系　甲同学有若干本课外参考书其中有5本不同的数学书本不同的物理书本不同的化学书．现在乙同学向甲同学借书试问：(1)若借一本书则有多少种不同的借法？(2)若每科各借一本则有多少种不同的借法？(3)若借两本不同学科的书则有多少种不同的借法？解：(1)因为需完成的事情是“借一本书”所以借给他数学、物理、化学书中的任何一本都可以完成这件事情．故用分类计数原理共有5＋4＋3＝12(种)不同的借法．(2)需完成的事情是“每科各借一本书”意味着要借给乙三本书只有从数学、物理、化学三科中各借一本才能完成这件事情．故用分步计数原理共有5×4×3＝60(种)不同的借法．(3)需完成的事情是“从三种学科的书中借两本不同学科的书”要分三种情况：①借一本数学书和一本5×4＝(种)借法；②借一本数学书和一本化学书同理由分步计数原理知有5×3＝15(种)借法；③借一本物理书和一本化学书同理由分步计数原理知有4×3＝12(种)借法．而上述的每一种借法都可以独立完成这件事情由分类计数原理知共有20＋15＋12＝47(种)不同的借法．仔细区分是“分类”还是“分步”是运用两个原理的关键．两个原理的区别在于一个与分类有关一个与分步有关．如果完成一件事有n类办法n类办法彼此之间是相互独立的无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事求完成这件事的方法种数就用分类加法计数原理；如果完成一件事需要分成n个步骤缺一不可即需要依次完成n个步骤才能完成这件事而完成每一个步骤各有若干种不同的方法求完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理．　有一项活动需在3名老师名男同学和8名女同学中选人参加．(1)若只需一人参加有多少种不同选法？