核按钮2017高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算习题 理.doc

§3.1　导数的概念及运算 1．导数的概念(1)定义 如果函数y＝f(x)的自变量x在x处有增量那么函数y相应地有增量＝f(x＋)－f(x)，比值就叫函数y＝f(x)从x到x＋之间的平均变化率即＝如果当时有极限我们就说函数y＝(x)在点x处并把这个极限叫做f(x)在点x处的导数记作或y ′即f′(x)＝ ＝ . (2)导函数当x变化时(x)便是x的一个函数我们称它为f(x)的导函数y＝f(x)的导函数有时也记作y′即(x)＝y′＝ . (3)用定义求函数y＝f(x)在点x处导数的方法求函数的增量＝；求平均变化率＝；取极限得导数f′x0)＝. 2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x处的导数的几何意义就是曲线y＝(x)在点P(x(x0))处的切线的斜率．也就是说曲线y＝(x)在点P(x(x0))处的切线的斜率是．相应的切线方程为．基本初等函数的导数公式(1)c′＝(c为常数)　 (xα)′＝(α∈Q)；(2)(sinx)′＝____________(cosx)′＝____________；(3)(lnx)′＝____________(logax)′＝____________；(4)(ex)′＝____________(ax)′＝____________.导数运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝__________________.(2)[f(x)g(x)]′＝____________________；当g(x)＝c(c为常数)时即[cf(x)]′＝____________.(3)′＝(g(x)≠0)．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)＝g(x)的导数间的关系为______________．即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．自查自纠(1)可f′(x0) (3)①f(x0＋)－f(x)　②(x0)　y－y＝(x0)(x－x) 3．(1)0　αx－1　(2)　－　(3)　(4)ex　a(1)f′(x)±g′(x)　(2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　cf′(x)(3) 5．yx′＝y′ 　　　　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　 ()已知函数f(x)＝ax(0，＋∞)其中a为实数(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3则a的值为(　　)解：f′(x)＝a＝a(＋1)(1)＝＝3.故选 ()函数y＝x在其极值点处的切线方程为(　　)＝＝(1＋)x C．y＝＝－解：记y＝f(x)＝x则f′(x)＝(1＋x)令f′(x)＝0得x＝－1此时f(－1)＝－故函数y＝x在其极值点处的切线方程为y＝－故选 ()若曲线y＝－x上点P处的切线平行于直线＋＋1＝0则点P的坐标是(　　)(－) B. C. D．(0，1) 解：设点P的坐标为(x)，y′＝－－x又切线2x＋y＋1＝0所以－－x＝－2可得x＝－此时y＝2所以点P的坐标为(－)．故选 物体的运动方程是s＝－＋2t－5则物体在t＝3时的瞬时速度为．解：v(t)＝s′(t)＝－t＋4t＝3时＝3故填3. ()已知曲线y＝x＋在点(1)处的切线与曲线y＝ax＋(a＋2)x＋相切则a＝________.解：y＝x＋＝1＋＝1＝2切线方程为y－＝(x－1)即y＝2x－1y＝ax＋(a＋2)x＋1联立得ax＋ax＋2＝0当a≠0时＝a－8a＝0得a＝8；当a＝0时曲线为y＝2x＋1与切线y＝2x－1平行与已知矛盾因此＝8.故填8. 类型一　导数的概念　用定义法求函数f(x)＝x－2x－1在x＝1处解法一：＝f(x＋)－f(x)＝(x＋)2－2(x＋)－1－(x－2x－1)＝x＋2x·＋－2x－2－1－x＋2x＋1＝(2x－2)＋所以 ＝ ＝[(2x－2)＋] ＝2x－2.所以函数f(x)＝x－2x－1在x＝1处的导数为(x)|x＝1＝2×1－2＝0.解法二：＝f(1＋)－f(1)＝(1＋)2－2(1＋)－1－(1－2×1－1)＝1＋2＋－2－2－1＋2＝所以 ＝ ＝＝0.故f′(x)|＝1＝0.利用导数定义求函数在某一点处的导数首先写出函数在该点处的平均变化率再化简平均变化率最后x→0时无限趋近于哪一常数该常数即为所求导数这是定义法求导数的一般过程．　航天飞机发射后的一段时间内第t 时的高度h(t)＝5t＋30t＋45t＋4(单位：)．(1)求航天飞机在第1 内的平均速度；(2)用定义方法求航天飞机在第1 末的瞬时速度．解：(1)航天飞机在第1 内的平均速度为＝＝80 (2)航天飞机第1 末高度的平均变化率为 ＝＝＝5＋45＋120当时＋45＋120→120所以1 s末的瞬时速度为120 类型二　求导运算　求下列函数的导数：(1)y＝(3x－4x)(2x＋1)；(2)y＝x；(3)y＝3－2＋；(4)y＝；(5)y＝(2x