初三数学 平行四边形及非凡的平行四边形的剖断.docVIP

初三数学 平行四边形及特殊的平行四边形的判定 平行四边形的判定方法：⑴两组对边分别平行的四边形是平行四边形。⑵两组对边分别相等的四边形是平行四边形。⑶一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。⑷两组对角相等的四边形是平行四边形。⑸对角线互相平分的四边形是平行四边形。 例1、（2006年广东省实验区）如图，在□ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB． (1)求证：四边形AFCE是平行四边形． (2)若去掉已知条件的“∠DAB=60°，上述的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程； 若不成立，请说明理由． （1）证：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB=60° ∴∠ADE=∠CBF=60°∵AE=AD，CF=CB ∴△AED、△CFB是正三角形，在ABCD中，AD=BC，DC∥AB且DC=AB ∴ED=BF ∴ED+DC=BF+AB即 EC=AF 又∵DC∥AB即EC∥AF ∴四边形AFCE是平行四边形 （2）上述结论还成立 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB，AD=BC，DC∥AB且DC=AB ∴∠ADE=∠CBF ∵AE=AD，CF=CB ∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF ∴∠AED=∠CFB 又∵AD=BC ∴△ADE≌△CBF ∴ED=FB ∵DC=AB ∴ED+DC=FB+AB即EC=FA ∵DC∥AB ∴四边形EAFC是平行四边形。 矩形的判定方法：⑴有三个角是直角的四边形是矩形。⑵有一个角是直角的平行四边形是矩形。⑶对角线相等的平行四边形是矩形。 单纯考察一个图形为矩形的中考题不多，一般都是与其它的特殊平行四边形一块综合考察。例2、下列四个命题中，假命题的是（　　　）. A．四条边都相等的四边形是菱形；　　　　B．有三个角是直角的四边形是矩形； 　C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； 　D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形. 答案：D 菱形的判定方法：⑴四条边都相等的四边形是菱形。⑵一组邻边相等的平行四边形是菱形。⑶对角线相互垂直的平行四边形是菱形。 例3、（江西省南昌市2006年）如图．在梯形纸片ABCD中．AD∥BC，ADCD．将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C′处，折痕DE交BC于点E．连结C′E (1)求证：四边形CD C′E是菱形； (2)若BC=CD+AD，试判断四边形ABED的形状，并加以证明； 解：（1）证明根据题意可得：CD= C′D，∠C′DE=∠CDE ∵AD∥BC ∴∠C′DE=∠CED ∴∠CDE=∠CED ∴CD= C′D = C′E=CE ∴四边形CD C′E是菱形 (2)答：当BC=CD+AD时，四边形ABED为平行四边形 证明：由（1）知CE=CD 又∵BC=CD+AD ∴BE=AD 又∵AD∥BE ∴四边形ABED为平行四边形 正方形的判定方法：⑴有一个角为直角的菱形是正方形。⑵有一组邻边相等的矩形是正方形。 ABCDO例4、（深圳市2006年）如图所示 A B C D O 对角线AC与BD相交于点O．若不增加任何字母与辅 助线，要使得四边形ABCD是正方形， 则还需增加的一个条件是 解析：开放性题目，答案不唯一。由可以判断出四边 形ABCD是菱形，根据菱形的性质，对角线相互垂直平分，若增加AC=BD条件，则四 边形ABCD是正方形。对角线相互垂直平分且相等的四边形为正方形也是正方形的判定方法． 四边形ABCD已经判断出是菱形，所以有一个角为900也可以判断出四边形为正方形。所以答案为：AC=BD或∠BAD=900或∠ABC=900或∠BCD=900或∠CDA=900