048江苏省赣马中学高三数学二轮复习《换元法等常用方法》.docVIP

湖北省黄冈中学2006届高三第二轮复习数学第48讲 《换元法及几种常用数学方法》学案048 一．考试要求 1．配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧,由于这种配成“完全平方”的恒等变形,使问题的结构发生了转化,从中可找到已知与未知之间的联系,促成问题的解决. 2．待定系数法的实质是方程的思想,这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中,从而通过解方程(或方程组)求得未知数. 3．换元法是一种变量代换,它是用一种变数形式去取代另一种变数形式,从而使问题得到简化,换元的实质是转化. 4．整体思想 5．二分法 二．小题训练 1．(2003年上海市春季高考题）设，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得的值是 分析：利用f（1-x）+f（x）=，可求= 2．05江苏 已知a,b为常数,若,,则 . 对比和可知，或，令，得. 3．已知是圆为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为 . 4．05重庆若的最大值是 . 5．福建卷设的最小值是（ ） A． B． C．－3 D． 四．典型例题 例1、（1）已知x 0 , y 0，2x + y = 1，求证： 证一： 即： 证二：由x 0 , y 0，2x + y = 1，可设 则 （2）：若，求证： 证：设， 则 （3）（3） ∵，∴设， 则 ∵，∴，∴，∴， ∴原函数的值域为． 小结：若0≤x≤1，则可令x = sin( ()或x = sin2( ()。 若，则可令x = cos( , y = sin( ()。若，则可令x = sec(, y = tan( ()若x≥1，则可令x = sec( ()。若x(R，则可令x = tan( ()。 例2．（1）求函数的最大、最小值． 解：原函数可化为：，令， 则，∴．∵， 且函数在上为减函数， ∴当时，即时，；当时， 即时，． （3）已知. 求证: . (均值换元): 因为、 =. (当且仅当时,等号成立). 评述:形如结构式的条件,一般可以采用均值换元. （4）求函数的值域。 令，则，∴， 当，即时取等号，∴函数取最大值，无最小值． 本题在换元时，满足，在判断函数的值域，必须考虑.当，函数取最大值，而不是当时取最大值. （5）求函数的值域 换元法（代数换元法）：设，则， ∴原函数可化为，∴， ∴原函数值域为． 例3．（1）设F1和F2为双曲线的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°,则ΔF1PF2的面积是( ). (A)1(B) （C)2 (D) 分析及解：欲求(1),而由已知能得到什么呢？ 由∠F1PF2=90°,得(2), 又根据双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=4 (3), 那么(2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联系呢？我们发现将(3)式完全平方,即可找到三个式子之间的关系.即, 故∴ , ∴ 选(A). 注：配方法实现了“平方和”与“和的平方”的相互转化. ∴解得k∈(-)∪[,+]. （2）已知向量, .(1) 当时, 求的值;(2) 求函数的值域. 解析: (1) ∴ 又 ∴ (2) ∴ 点评：平方法和坐标运算法，是求向量模的两种基本方法。在多数情况下，采用平方法较坐标运算法显得方便一些，如例2 中求，就可以运用平方法。，，，，∴当然也有用坐标运算法比平方法方便的，解题时要灵活选用。 例4．（1）（2000年全国卷第11题）过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段与的长分别是、,则等于（ ） （2）（1994年全国高中数学联赛第5题） 在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、 解析：设正n棱锥为，由于多变，所以底面正边形、侧面出现不确定状态，这样导致直接分析求解将是繁难，甚至是“到而不达”的，若另辟蹊径，采用极限法，则解法将是简捷、易行的，其计算量得到极大的简化。 本例中底面正边形固定，而棱锥的高不定，故可将顶点S看作是运动变化的，设相邻两侧面所成的二面角的平面角为。当点S向下运动无限趋近底面正边形的中心这个极限位置时，趋于平角；当点S向上运动趋于无穷远时，侧棱将无限趋于与底面垂直，即正n棱锥趋近于正n棱柱，此时无限趋于底面正边形的内角，故二面角的取值范围是：，从而选(A) 评注：“化静为动，以动制静”，利用运动和变化的观点，着眼于问题的极限状态，摈弃了繁琐的数学运算，使得所研究问题更加直观、明朗。因此，根据问题的不同条件和特点，合理选择运算途径是提高运算能力的关键，而灵活地利用极限思想就成为减少运算量的一条重要途径。