基数意义下自然数的运算（一）.pdfVIP

探 索 日 算(一) 一 ! ● 张新春 基数意义下的自然数的运算是通过集合的运算 容换一下位置吗?的确是这样，可数学有时候就是这 来定义的，因此，我们先简单介绍一下集合的运算。 样的：定义是严格的。判断需要根据定义并按照逻辑 (1)设给定的集合4和 ，由至少属于集合A或 规则做 出。根据定义．∈AUB是指 ∈A或 ∈B， ∈ 者集合B之一的元素组成的集合，叫做A与 日的并 BuA指 的就是 ∈B或X∈A，而 “∈A或x∈B”与 集。记作Au 。 “ ∈B或 ∈A”是一个意思．则正是我们所做 的推理 (2)设给定的集合A和B，由集合A和集合B的 (使用了数理逻辑命题演算的公理进行推理)。数学 所有共同元素组成的集合，叫做 与曰的交集。记作 推理的最开始几步往往看起来就是这样简单，简单 An 。 得甚至有点让人觉得不可思议 ，或者让人觉得多此 “交”与 “并”是集合间两种基本的运算，它们都 一 举。当你觉得某一步推理简单得不可思议时，你应 满足交换律与结合律，即： 该提醒提醒 自己，当前要证明的这个结论 ，只能根据 AUB=BUA 已有的定义、被假设为正确的公理 、已经被证明了的 AnB=BnA 结论以及基本的逻辑规则来证明，而不能是想当然， (AUB)OC=AU (BUC) 也不能依靠直观图形(直观图形只能帮助我们理解， (AnB)OC=An(Bnc) 不能代替证明)。于是，你就应该追 问：为了证明这个 这些集合的运算律都是可以证明的。我们以证 结论，我 已知一些什么，我有些什 么工具可以利用? 明，4UB=BuA为例。 当你发现其实此时你可用的工具非常之少、少得不 我们知道Au日和 曰uA都是集合。元素 是Au 可思议时，你就会觉得那个刚才还看起来不可思议 B的元素 (通常记作：∈AUB)指的是 是A的元素 的证明其实非常精巧。欧几里得从几个定义、几条公 或者 是 的元素 (也就是 ∈A或 EB)。为了证明 理和公设 出发 ，推导出欧氏几何的参天大树 ，其最初 u日和 日uA这两个集合相等，我们通常用这样的 几步就是这么精巧。) 思路：证明集合AuB的每一个元素都在集合 曰uA 完全类似的，可以证明BuA中的任一元素都是 中，同时，集合 曰uA的每一个元素都在集合AuB AU曰的元素，于是AUB=BUA。 中。 下面我们要利用集合的并来定义加法。 设 ∈AUB，则有 ∈A或X∈B。(并集的定义) 我们知道，集合 u曰的基数并不等于集合A的 于是 ∈B或 ∈A。 基数与集合 曰的基数之和(回忆一下，所谓基数就是 从而 ∈BDA(并集的定义) 指一类互相等价的集合的标志。说得这样绕是为了 以上即证明了Au 的任意一个元素都是 BuA 数学定义的需要。数学中的新概念通常只能用已经 的元素。 被定义了的概念来定义。如果允许我们在还没有定 (你可能觉得很无聊 ，不就是把 “或”字两边的 内 义自然数时就使用 “个数”这样的概念 ，我们一定会 2016年9月C／36 探 索