2013年湖南省中考数学压轴题解析汇编.docVIP

【2013·湖南长沙·26题】如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+2与x轴、y轴交于点A、B，动点P(a，b)在第一象限内，由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN（垂足为M、N）分别与直线AB相交于点E、F，当点P(a，b)运动时，矩形PMON的面积为定值2. （1）求∠OAB的度数； （2）求证：△AOF∽△BEO； （3）当点E、F都在线段AB上时，由三条线段AE、EF、BF组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S1，△OEF的面积为S2。试探究：S1+S2是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由。 解：（1）由y=-x+2知， ∵当x=0时，y=2 ∴B（0，2），即OB=2 ∵当y=0时，x=2 ∴A（2，0），即OA=2 ∵OA=OB ∴△AOB是等腰直角三角形 ∴∠OAB=45° （2）∵EM∥OB ∴ ∵FN∥OA ∴ ∴AF·BE=ON·OM=2OM·ON ∵矩形PMON的面积为2 ∴OM·ON=2 ∴AF·BE=4 ∵OA·OB=4 ∴AF·BE=OA·OB，即 ∵∠OAF=∠EBO=45° ∴△AOF∽△BEO （3）易证△AME、△BNF、△PEF为等腰直角三角形 ∵AM=EM=2-a ∴AE2=2(2-a)2=2a2-8a+8 ∵BN=FN=2-b ∴BF2=2(2-b)2=2b2-8b+8 ∵PF=PE=a+b-2 ∴EF2=2(a+b-2)2=2a2+4ab+2b2-8a-8b+8 ∵ab=2 ∴EF2=2a2+2b2-8a-8b+16 ∵EF2= AE2+BF2 ∴由线段AE、EF、BF组成的三角形为直角三角形，且EF为斜边，则此三角形的外接圆面积为： S1=EF2=·2(a+b-2)2=(a+b-2)2 ∵S梯形OMPF=(PF+OM)·PM S△PEF=PF·PE，S△OME=OM·EM ∴S2=S梯形OMPF-S△PEF-S△OME =(PF+OM)·PM-PF·PE-OM·EM =[PF·(PM-PE)+OM·(PM-EM)] =(PF·EM+OM·PE) =PE·（EM+OM) =(a+b-2)(2-a+a) =a+b-2 ∴S1+S2=(a+b-2)2+(a+b-2) 设m=a+b-2，则S1+S2=m2+m=(m+)2- ∵面积之和不可能为负数 ∴当m＞-时，S1+S2随m的增大而增大 ∴当m最小时，S1+S2就最小 ∵m=a+b-2=a+-2=()2+2-2 ∴当，即a=b=时，m最小，最小值为2-2 ∴S1+S2的最小值=(2-2)2+ 2-2 = 2(3-2)π+2-2 【2013·湖南株洲·24题】已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0，），将抛物线C1向下平移h个单位（h＞0）得到抛物线C2，一条平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m2（m＞0）。 （1）求抛物线C1的解析式的一般形式； （2）当m=2时，求h的值； （3）若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点D，求证：tan∠EDF-tan∠ECP= 解：（1）由题意设抛物线C1的解析式为y=a(x-1)2 ∵抛物线C1过点（0，） ∴a= ∴抛物线C1的解析式的一般形式为 y=(x-1)2=x2-x+ （2）由题意可得，抛物线C2的解析式为y=(x-1)2-h ∵当m=2时，直线AB与x轴的距离是4 ∴直线AB的解析式为y=4 ∵在抛物线C1中，当y=4时，(x-1)2=4 解得x=5或-3 ∴点C的坐标为（5，4） ∵点A、C关于y轴对称 ∴点A的坐标为（-5，4） 代入抛物线C2的解析式得4=(-5-1)2-h ∴h=5 （3）∵在抛物线C1中，当y=m2时，(x-1)2=m2 解得x=1+2m或1-2m ∴点C坐标为（1+2m，m2） ∵点E坐标为（1，m2） ∴PE=m2，EC=2m ∴tan∠ECP== ∵在抛物线C2中，当y=m2时，(x-1)2-h=m2 解得x=1+2或1-2 ∴点A坐标为（1-2，m2） 点D坐标为（1+2，m2） ∵点A、C关于y轴对称 ∴1-2+1+2m=0 ∴=m+1 ∵DE=2，EF=m2+h ∴tan∠EDF== = ∴tan∠EDF-tan∠ECP=-= 【2013·湖南郴州·26题】如图，在直角梯形AOCB中，AB∥OC，∠AOC=90°，AB=1，AO=2，OC=3，以O为原点，OC、OA所在直线为轴建立坐标系抛物线顶点为A，且经过点C点P在线段AO上由A向点O运动，点在线段OC上由C向点O运动，QD⊥OC交BC于点D，OD所在直线与抛物线在第一象限交于点E（1）求抛物线